2.5: Adiabatiske ændringer
Ændringer i temperatur
I dette eksempel ønsker vi at finde temperaturændringen i en gasprøve, når den gennemgår en reversibel adiabatisk ekspansion. Denne udvidelse vil føre til et fald i temperatur og en stigning i volumen. Det ville være vanskeligt at overvåge temperaturændringerne punkt for punkt, da lydstyrken langsomt øges. Da \ (\ Delta U \) er en tilstandsfunktion, kan vi imidlertid adskille den samlede proces i to teoretiske trin:
- Trin 1: en isoterm udvidelse fra \ (V_1 \) til \ (V_2 \)
- Trin 2: et fald i temperatur ved konstant volumen.
I emne 2A bemærkede vi, at den indre energi af en ideel gas er uafhængig af volumen af beholderen. På grund af dette faktum vil den isotermiske ekspansion i trin 1 ikke påvirke gassens indre energi. Ændringen i intern energi under den adiabatiske ekspansion kan således tildeles trin 2, temperaturændringen ved konstant volumen. Endnu en gang ved hjælp af et koncept udviklet i emne 2A ved vi, at ved konstant volumen
\
Som nævnt ovenfor, i en adiabatisk proces \ (\ Delta U = w_ {ad} \ ) således at
\
Dette forhold giver mening, fordi den nødvendige energi til at udføre ekspansionsarbejdet skal komme fra gaspartiklerne, som mister energi, når de fungerer, hvilket resulterer i et fald i systemets temperatur. Vi antager, at værdien af \ (C_V \) er uafhængig af temperaturen.
For at bestemme sammenhængen mellem volumenændring og temperaturændring kan vi starte med den forudsætning, at arbejdet udført af en ideel gas, da det udvides adiabatisk mod et eksternt tryk, P, er
\
For en adiabatisk ændring \ (dU = dw \) og for en ideel gas \ (dU = C_V dT \), således i dette tilfælde
\
og
\
Fordi vi bruger en ideel gas, \ (P = \ dfrac {nRT} {V} \), således
\
Integrationsgrænserne er sat af de indledende betingelser (T1, V1) og sidste c onditions (T2, V2):
\
resulterer i
\
som kan omarrangeres til
\
For at løse for \ (T_2 \) skal vi definere \ (\ dfrac {C_V} {nR} = c \), så
\
Denne ligning giver os mulighed for at antage, at
\
og så
\