2.5: Cambiamenti adiabatici
Cambiamenti di temperatura
In questo esempio, vogliamo trovare il cambiamento di temperatura di un campione di gas mentre subisce unespansione adiabatica reversibile. Questa espansione porterà ad una diminuzione della temperatura e ad un aumento del volume. Sarebbe difficile monitorare le variazioni di temperatura punto per punto quando il volume aumenta lentamente. Tuttavia, poiché \ (\ Delta U \) è una funzione di stato, possiamo separare il processo complessivo in due passaggi teorici:
- Passaggio 1: unespansione isotermica da \ (V_1 \) a \ (V_2 \)
- Passaggio 2: una diminuzione della temperatura a volume costante.
Nellargomento 2A abbiamo notato che lenergia interna di un gas ideale è indipendente dal volume del suo contenitore. A causa di questo fatto, lespansione isotermica nel passaggio 1 non influenzerà lenergia interna del gas. Pertanto, la variazione di energia interna durante lespansione adiabatica può essere assegnata alla Fase 2, la variazione di temperatura a volume costante. Ancora una volta utilizzando un concetto sviluppato nellargomento 2A, sappiamo che a volume costante
\
Come notato sopra, in un processo adiabatico \ (\ Delta U = w_ {ad} \ ) in modo che
\
questa relazione abbia senso perché lenergia necessaria per svolgere il lavoro di espansione deve provenire dalle particelle di gas, che perderanno energia mentre funzionano, con conseguente calo della temperatura del sistema. Assumiamo che il valore di \ (C_V \) sia indipendente dalla temperatura.
Per determinare la relazione tra la variazione di volume e la variazione di temperatura, possiamo iniziare con la premessa che il lavoro svolto da un gas ideale mentre si espande adiabaticamente contro una pressione esterna, P, è
\
per un cambiamento adiabatico \ (dU = dw \) e per un gas ideale \ (dU = C_V dT \), quindi in questo caso
\
e
\
Perché noi stanno usando un gas ideale, \ (P = \ dfrac {nRT} {V} \), quindi
\
I limiti di integrazione sono fissati dalle condizioni iniziali (T1, V1) e finale c ondizioni (T2, V2):
\
risultante in
\
che può essere riorganizzato in
\
Per risolvere per \ (T_2 \), dobbiamo definire \ (\ dfrac {C_V} {nR} = c \) in modo che
\
Questa equazione ci permette di assumere che
\
e così
\