2.5: Adiabatische Änderungen
Temperaturänderungen
In diesem Beispiel möchten wir die Temperaturänderung einer Gasprobe während der Temperatur ermitteln eine reversible adiabatische Expansion. Diese Expansion führt zu einer Abnahme der Temperatur und einer Zunahme des Volumens. Es wäre schwierig, die punktweisen Temperaturänderungen zu überwachen, wenn das Volumen langsam zunimmt. Da \ (\ Delta U \) eine Zustandsfunktion ist, können wir den Gesamtprozess in zwei theoretische Schritte unterteilen:
- Schritt 1: eine isotherme Expansion von \ (V_1 \) nach \ (V_2 \)
- Schritt 2: Temperaturabfall bei konstantem Volumen.
In Thema 2A haben wir festgestellt, dass die innere Energie eines idealen Gases unabhängig von der ist Volumen seines Behälters. Aufgrund dieser Tatsache beeinflusst die isotherme Expansion in Schritt 1 die innere Energie des Gases nicht. Somit kann die Änderung der inneren Energie während der adiabatischen Expansion Schritt 2 zugeordnet werden, der Änderung der Temperatur bei konstantem Volumen. Unter erneuter Verwendung eines in Thema 2A entwickelten Konzepts wissen wir, dass bei konstantem Volumen
\
Wie oben erwähnt, in einem adiabatischen Prozess \ (\ Delta U = w_ {ad} \ ) damit
\
Diese Beziehung ist sinnvoll, da die zur Ausführung der Expansionsarbeit benötigte Energie von den Gaspartikeln stammen muss, die bei ihrer Arbeit Energie verlieren. Dies führt zu einem Temperaturabfall des Systems. Wir nehmen an, dass der Wert von \ (C_V \) unabhängig von der Temperatur ist.
Um die Beziehung zwischen der Volumenänderung und der Temperaturänderung zu bestimmen, können wir beginnen mit der Prämisse, dass die Arbeit eines idealen Gases, wenn es sich adiabatisch gegen einen äußeren Druck P ausdehnt,
\
für eine adiabatische Änderung \ (dU = dw \) und ist für ein ideales Gas \ (dU = C_V dT \), also in diesem Fall
\
und
\
Weil wir verwenden ein ideales Gas, \ (P = \ dfrac {nRT} {V} \), also
\
Die Integrationsgrenzen werden durch die Anfangsbedingungen (T1, V1) und endgültig c Bedingungen (T2, V2):
\
führt zu
\
, das in
Um nach \ (T_2 \) zu lösen, müssen wir \ (\ dfrac {C_V} {nR} = c \) definieren, so dass
\
Diese Gleichung erlaubt es uns anzunehmen, dass
\
und so
\