2.5: Adiabatiska förändringar

Temperaturförändringar

I detta exempel vill vi hitta temperaturförändringen för ett gasprov när det genomgår en reversibel adiabatisk expansion. Denna expansion kommer att leda till en temperaturminskning och en volymökning. Det skulle vara svårt att övervaka temperaturförändringarna punkt för punkt eftersom volymen långsamt ökar. Eftersom \ (\ Delta U \) är en tillståndsfunktion kan vi emellertid dela den övergripande processen i två teoretiska steg:

• Steg 1: en isotermisk expansion från \ (V_1 \) till \ (V_2 \)
• Steg 2: en minskning av temperaturen vid konstant volym.

I ämne 2A noterade vi att den inre energin hos en idealgas är oberoende av behållarens volym. På grund av detta faktum påverkar inte den isotermiska expansionen i steg 1 gasens inre energi. Således kan förändringen i intern energi under den adiabatiska expansionen tilldelas steg 2, temperaturförändringen vid konstant volym. Återigen med hjälp av ett koncept utvecklat i ämne 2A vet vi att vid konstant volym

\

Som nämnts ovan, i en adiabatisk process \ (\ Delta U = w_ {ad} \ ) så att

\

Detta förhållande är meningsfullt eftersom energin som behövs för att utföra expansionsarbetet måste komma från gaspartiklarna, som kommer att förlora energi när de fungerar, vilket resulterar i en sänkning av systemets temperatur. Vi antar att värdet på \ (C_V \) är oberoende av temperaturen.

För att bestämma förhållandet mellan volymförändringen och temperaturförändringen kan vi börja med utgångspunkten att arbetet som utförs av en idealgas när den expanderar adiabatiskt mot ett yttre tryck, P, är

\

För en adiabatisk förändring \ (dU = dw \) och för en ideal gas \ (dU = C_V dT \), alltså i detta fall

\

och

\

Eftersom vi använder en idealgas, \ (P = \ dfrac {nRT} {V} \), alltså

\

Integrationsgränserna sätts av de initiala villkoren (T1, V1) och slutlig c onditions (T2, V2):

\

vilket resulterar i

\

som kan ordnas om till

\

För att lösa \ (T_2 \) måste vi definiera \ (\ dfrac {C_V} {nR} = c \) så att

\

Denna ekvation tillåter oss att anta att

\

och så

\