2.5: Adiabatische veranderingen

Veranderingen in temperatuur

In dit voorbeeld willen we de verandering in temperatuur van een gasmonster vinden terwijl het ondergaat een omkeerbare adiabatische uitzetting. Deze uitzetting zal leiden tot een daling van de temperatuur en een toename van het volume. Het zou moeilijk zijn om de puntsgewijze veranderingen in temperatuur te volgen naarmate het volume langzaam toeneemt. Omdat \ (\ Delta U \) echter een toestandsfunctie is, kunnen we het totale proces in twee theoretische stappen scheiden:

• Stap 1: een isotherme uitbreiding van \ (V_1 \) naar \ (V_2 \)
• Stap 2: een daling van de temperatuur bij constant volume.

In onderwerp 2A merkten we op dat de interne energie van een ideaal gas onafhankelijk is van de volume van zijn container. Vanwege dit feit heeft de isotherme uitzetting in stap 1 geen invloed op de interne energie van het gas. Zo kan de verandering in interne energie tijdens de adiabatische expansie worden toegewezen aan stap 2, de verandering in temperatuur bij constant volume. Opnieuw gebruikmakend van een concept ontwikkeld in onderwerp 2A, weten we dat bij constant volume

\

Zoals hierboven vermeld, in een adiabatisch proces \ (\ Delta U = w_ {ad} \ ) zodat

\

Deze relatie is logisch omdat de energie die nodig is om het werk van de expansie uit te voeren, afkomstig moet zijn van de gasdeeltjes, die energie verliezen als ze werken, resulterend in een daling van de temperatuur van het systeem. We nemen aan dat de waarde van \ (C_V \) onafhankelijk is van temperatuur.

Om de relatie tussen de volumeverandering en de temperatuurverandering te bepalen, kunnen we beginnen met het uitgangspunt dat het werk dat wordt gedaan door een ideaal gas terwijl het adiabatisch uitzet tegen een externe druk, P, is

\

Voor een adiabatische verandering \ (dU = dw \) en voor een ideaal gas \ (dU = C_V dT \), dus in dit geval

\

en

\

Omdat we gebruiken een ideaal gas, \ (P = \ dfrac {nRT} {V} \), dus

\

De limieten van integratie worden bepaald door de initiële voorwaarden (T1, V1) en laatste c onditions (T2, V2):

\

resulterend in

\

die herschikt kunnen worden in

\

Om \ (T_2 \) op te lossen, moeten we \ (\ dfrac {C_V} {nR} = c \) definiëren zodat

\

Met deze vergelijking kunnen we aannemen dat

\

en zo

\