Le plus grand nombre premier connu découvert: pourquoi cest important

Dans le film Contact, basé sur le roman du même nom de Carl Sagan, le Dr Ellie Arroway recherche une vie extraterrestre intelligente en scannant le ciel avec radiotélescopes. Quand Arroway, joué par Jodie Foster, reconnaît les nombres premiers dans un signal interplanétaire, elle croit que cest la preuve quune intelligence extraterrestre a envoyé un message à la race humaine.

Un nombre est considéré comme premier sil nest divisible que par un et lui-même. Par exemple, deux, trois, cinq et sept sont premiers. Le nombre 15, qui est trois fois cinq, nest pas premier. Ce nest pas un hasard si Arroway pense que les extraterrestres de Contact utilisent des nombres premiers comme un «bonjour» cosmique – ce sont des éléments constitutifs dautres nombres. Chaque nombre est un produit de nombres premiers.

En décembre 2017, le plus grand connu Le nombre premier a été découvert à laide dune recherche informatique. Le nombre premier a été découvert par Jonathan Pace, un ingénieur électricien qui travaille actuellement chez FedEx. Pourquoi est-ce important? Parce que sans les nombres premiers, vos informations bancaires, vos transactions Paypal ou vos achats Amazon pourraient être compromis.

Les grands nombres premiers, comme celui qui vient dêtre découvert, jouent un rôle essentiel dans la cybersécurité. La cryptographie est la science de lencodage et du décodage des informations, et bon nombre de ses algorithmes, tels que RSA, reposent fortement sur les nombres premiers.

nombres premiers de Mersenne

Bien quil existe une infinité de nombres premiers, il ny a pas de f ormula pour les générer tous. Une course est en cours pour trouver des nombres premiers plus grands en utilisant un mélange de techniques mathématiques et de calcul.

Une façon dobtenir de grands nombres premiers utilise un concept mathématique découvert par le moine et érudit français du XVIIe siècle, Marin Mersenne.

Un premier de Mersenne est de la forme 2ⁿ – 1, où n est un entier positif. Les quatre premiers dentre eux sont trois, sept, 31 et 127.

Cependant, tous les nombres de la forme 2ⁿ – 1 ne sont pas premiers; par exemple, 2⁴ – 1 = 15. Si 2ⁿ – 1 est premier, alors on peut montrer que n lui-même doit être premier. Mais même si n est premier, il ny a aucune garantie que le nombre 2ⁿ – 1 soit premier: 2¹¹ – 1 = 2,047, ce qui nest pas premier car il est égal à 23 fois 89.

Il ny a que 50 nombres premiers de Mersenne connus . Une conjecture non résolue est quil y en a un nombre infini.

La recherche de nouveaux nombres premiers

The Great Internet Mersenne Prime Search (ou GIMPS) est un effort collaboratif de nombreuses personnes et des équipes du monde entier pour trouver de nouveaux nombres premiers de Mersenne. George Woltman a lancé GIMPS en 1996, et en 2018, il comprend plus de 183 000 utilisateurs bénévoles contribuant à la puissance collective de plus de 1,6 million de processeurs.

Le plus récent Mersenne prime est écrit succinctement 2⁷⁷²³²⁹¹⁷ – 1; cest deux multipliés par lui-même 77 232 917 fois, moins un. La découverte de Jonathan Pace a nécessité six jours de calcul sur un processeur Intel i5-6600 quadricœur, et a été vérifiée indépendamment par quatre autres groupes.

Le nouveau premier découvert a un énorme 23 249 425 chiffres. Pour avoir une idée de sa taille, supposons que nous remplissions un livre avec des chiffres, chaque chiffre comptant comme un mot et chaque livre contenant 100 000 mots. Ensuite, les chiffres de 2⁷⁷²³²⁹¹⁷ – 1 rempliraient environ 232 livres!

Comment GIMPS trouve-t-il les nombres premiers?

GIMPS utilise le test de Lucas-Lehmer pour les nombres premiers. Pour cela, formez une suite dentiers commençant par quatre, et dont les termes sont le terme précédent au carré et moins deux. Le test dit que le nombre 2ⁿ – 1 est premier sil divise le (n-2) ème terme de la séquence.

Alors que le test de Lucas-Lehmer semble assez facile à vérifier, le goulot détranglement de calcul dans lapplication cela vient de la quadrature des nombres. La multiplication des nombres entiers est quelque chose que tout enfant dâge scolaire peut faire, mais pour un grand nombre, cela pose des problèmes, même pour les ordinateurs. Une façon de contourner ce problème consiste à utiliser des transformations rapides de Fourier (FFT), des algorithmes qui accélèrent les calculs.

Nimporte qui peut simpliquer dans GIMPS – tant que vous avez un ordinateur décent avec une connexion Internet. Des logiciels gratuits pour rechercher des nombres premiers de Mersenne peuvent être trouvés sur le site Web de GIMPS.

Alors que le plus grand nombre de nombres premiers connus est incroyablement massif, il y a une infinité dautres nombres premiers qui attendent dêtre découverts. Comme Ellie Arroway la fait dans Contact, nous navons quà les chercher.