Suurin tunnettu löydetty alkuluku: Miksi sillä on merkitystä

Elokuvassa Contact, joka perustuu Carl Saganin samannimiseen romaaniin, tohtori Ellie Arroway etsii älykästä maapallon ulkopuolista elämää skannaamalla taivasta radioteleskoopit. Kun Jodie Fosterin esittämä Arroway tunnistaa alkuluvut planeettojen välisessä signaalissa, hän uskoo sen olevan todiste siitä, että ulkomaalainen älykkyys on lähettänyt ihmiskunnalle viestin.

Numeroa pidetään ensisijaisena, jos se on jaollinen yksi ja itse. Esimerkiksi kaksi, kolme, viisi ja seitsemän ovat ensisijaisia. Luku 15, joka on kolme kertaa viisi, ei ole alkuluku. Ei ole sattumaa, että Arroway uskoo, että kontaktissa olevat ulkomaalaiset käyttävät alkulukuja kosmisena ”hei” – ne muodostavat muiden numeroiden rakennuspalikoita. Jokainen luku on alkulukujen tulos.

Joulukuussa 2017 tunnetuin suurin alkunumero löydettiin tietokonehaulla. Ydin löysi sähköinsinööri Jonathan Pace, joka työskentelee tällä hetkellä FedExissä. Miksi tämä on tärkeää? Koska ilman alkulukuja pankkitietosi, Paypal-maksutapahtumasi tai Amazon-ostoksesi voivat vaarantua.

Suurilla alustoilla, kuten juuri löydetyllä, on kriittinen rooli kyberturvallisuudessa. Salaus on tiede tietojen koodaamisesta ja dekoodaamisesta, ja monet sen algoritmeista, kuten RSA, luottavat voimakkaasti alkulukuihin.

Mersennen alkukappaleet

Vaikka primejä on äärettömän monta, ei tunneta f ormula tuottaa ne kaikki. Kilpailu on meneillään suurempien alustojen löytämiseksi matemaattisten tekniikoiden ja laskennan yhdistelmällä.

Yksi tapa saada suuria primejä on matemaattinen käsite, jonka löysi 1600-luvun ranskalainen munkki ja tutkija Marin Mersenne.

Mersennen alkupää on muoto 2ⁿ – 1, jossa n on positiivinen kokonaisluku. Näistä neljä ensimmäistä ovat kolme, seitsemän, 31 ja 127.

Kaikki muodon 2ⁿ – 1 numerot eivät kuitenkaan ole tärkeimpiä; esimerkiksi 2⁴ – 1 = 15. Jos 2ⁿ – 1 on prime, niin voidaan osoittaa, että n itsensä on oltava prime. Mutta vaikka n on alkuluku, ei ole mitään takeita siitä, että luku 2ⁿ – 1 on alkuluku: 2-1 – 1 = 2047, mikä ei ole alkuluku, koska se on 23 kertaa 89.

Mersennen alkukuvia tunnetaan vain 50 . Ratkaisematon oletus on, että niitä on ääretön määrä.

Uusien primeiden etsiminen

Suuri Internet-Mersennen päähaku (tai GIMPS) on monien ihmisten yhteistyö. joukkueita ympäri maailmaa etsimään uusia Mersennen primejä. George Woltman aloitti GIMPS: n vuonna 1996, ja vuonna 2018 siihen kuuluu yli 183 000 vapaaehtoista käyttäjää, jotka tuottavat yli 1,6 miljoonan suorittimen yhteisen voiman.

Viimeksi löydetty Mersennen prime on kirjoitettu ytimekkäästi nimellä 2⁷⁷²³²³¹⁷ – 1; tämä on kaksi kerrottuna itsestään 77 232 917 kertaa, miinus yksi. Jonathan Pacen löytö kesti kuusi päivää laskennassa neliytimisellä Intel i5-6600 -prosessorilla, ja neljä muuta ryhmää vahvisti sen itsenäisesti.

Äskettäin löydetyllä pääministerillä on huikeat 23 249 425 numeroa. Oletuksena on, että täytimme kirjan numerolla, jonka jokainen luku laskettiin sanaksi ja jokaisessa kirjassa oli 100 000 sanaa saadakseen käsityksen siitä, kuinka suuri se on. Sitten numeroiden 2⁷⁷²³²⁹¹⁷ – 1 numerot täyttävät noin 232 kirjaa!

Miten GIMPS löytää primaat?

GIMPS käyttää Lucas-Lehmer-testiä primeihin. Muodosta tätä varten sarja kokonaislukuja, jotka alkavat neljästä ja joiden termit ovat edellinen termi neliö ja miinus kaksi. Testi sanoo, että luku 2ⁿ – 1 on ensisijainen, jos se jakaa (n-2): n termin jaksossa.

Vaikka Lucas-Lehmer-testi näyttää riittävän helpolta tarkistaa, laskennallinen pullonkaula sovellettaessa se tulee neliöiden neliöimisestä. Jokainen kouluikäinen lapsi voi tehdä kokonaislukujen kertomisen, mutta suurille määrille se aiheuttaa ongelmia myös tietokoneille. Yksi tapa kiertää on käyttää nopeaa Fourier-muunnosta (FFT), algoritmeja, jotka nopeuttavat laskutoimituksia.

Kuka tahansa voi olla mukana GIMPSissä – kunhan sinulla on kunnollinen tietokone, jossa on Internet-yhteys. Ilmaiset ohjelmistot Mersennen alkukuvien etsimiseksi löytyvät GIMPS-verkkosivustolta.

Vaikka suurin tunnettu pääministeri on hämmästyttävän massiivinen, sen ulkopuolella on loputtomasti enemmän alustuksia, jotka odottavat löytämistä. Kuten Ellie Arroway teki Kontaktissa, meidän on vain etsittävä niitä.