Sådan finder du et Pentagon-område (Formel og eksempel)

Pentagon-område

Området med en femkant er rummet inde i sine fem lige sider. Det meste af tiden får du til opgave at finde området til en regelmæssig femkant, så denne lektion dækker ikke uregelmæssige pentagoner.

En almindelig femkant har lige store sider og kongruente vinkler. Der er et par metoder, du kan bruge til at beregne arealet af en almindelig femkant. Én metode bruger en sidelængde og længde af apotemet.

Apothem af en Pentagon

Apothem af en femkant er et linjesegment fra midten af femkant til en side af femkant. Apotemet er vinkelret på siden. Alle regelmæssige polygoner har et apotem. For en polygon med n sider er der n apotemer.

Areal af en Pentagon-formel

For at finde arealet af en femkant med apotemet, a og en sidelængde, s , bruger du området med en femkantet formel:

Hvad hvis du kender ikke apotemet til din femkant? Du kan stadig finde området for en almindelig femkant, hvis du ved:

• Lidt trigonometri
• Den ene sides længde
• Hver indvendige vinkel måler 108 °

Du ved, at hver indvendige vinkel måler 108 °, fordi du ved et par ting om udvendige vinkler og polygoner. Du ved, at:

• Summen af de udvendige vinkler af en hvilken som helst polygon tilføjer op til 360 °
• Den udvendige vinkel er supplementet til den indvendige vinkel (indvendigt + udvendigt = 180 °)

For at finde mål for hvert ydre af en regelmæssig polygon dividerer du 360 ° med antallet af sider. For en femkant, der er 360 ° 5. Dette fortæller os, at hver udvendige vinkel er 72 °

Nu kan vi bruge den til at bestemme målingen af hver indvendige vinkel. Husk, den udvendige vinkel og den indvendige vinkel skal føjes til 180 °, så vi har 180 ° – 72 ° = 108 °. Hver indvendige vinkel er lig med 108 °.

Sådan finder du apotemet og arealet af en Pentagon

Brug længden af den ene side og målingen af den indvendige vinkel til at beregne apothem længde og find arealet af en almindelig femkant.

Lad os sige, at vi har en femkant med en sidelængde på 4 cm. Opdel femkant i fem ligestilede trekanter, hver med en base dannet af femkantens sider.

Del en hvilken som helst af disse trekanter i to højre trekanter:

Du ved nu alt dette om den højre trekant:

• Længden af trekants korte ben (12 femkantens side)
• Den rigtige vinkel (90 ° vinkel) er overfor hypotenusen (lodret halvering af siden)
• 36 ° spids vinkel modsat det korte ben 360 ° fordelt på 10 højre trekanter)
• 54 ° spids vinkel modsat det lange ben (12 af den indvendige vinkel på 108 ° )

Tangensen for en vinkel (her vores 36 ° vinkel) er den modsatte side (det korte ben) divideret med tilstødende side (det lange ben, som begge er højden af trekant og femkantens apotem):

tan (36 °) = modsat nærliggende

tan (36 °) = modsat h

h × tan (36 ° ) = modsat

h = oppositetan (36 °)

Solbrunheden (36 °) er ca. 0,727, så vi har den modsatte side (det korte ben) på 2 cm div ided af 0.727:

h = 20,727 = 2,75 cm

Med højden, h, af trekanten nu etableret og kender trekants base (12; femkantens side), b, kan du nu anvende formlen for området af en trekant:

Vi har 10 sådanne rigtige trekanter, så vi ændrer trekantsarealformlen og beregner arealet af vores almindelige femkant: