Bernoullis Gesetz – aus Eric Weissteins Welt der Physik

Dieser Eintrag von Dana Romero

Bernoullis Gesetz beschreibt das Verhalten einer Flüssigkeit unter verschiedenen Strömungs- und Höhenbedingungen. Es heißt

Dabei ist P der statische Druck (in Newton pro Quadratmeter), die Flüssigkeitsdichte (in kg pro Kubikmeter), v die Geschwindigkeit des Flüssigkeitsflusses (in Metern pro Sekunde). und h ist die Höhe über einer Referenzfläche. Der zweite Term in dieser Gleichung ist als dynamischer Druck bekannt. Der durch dieses Gesetz beschriebene Effekt wird als Bernoulli-Effekt bezeichnet, und (1) wird manchmal als Bernoulli-Gleichung bezeichnet

Stellen Sie sich für eine heuristische Ableitung des Gesetzes ein Rohr vor, durch das eine ideale Flüssigkeit mit gleichmäßiger Geschwindigkeit fließt. W bezeichne die Arbeit, die durch Anlegen eines Drucks P über einen Bereich A ausgeführt wird, wodurch ein Versatz von oder eine Volumenänderung von erzeugt wird. Ein Index 1 bezeichnet Flüssigkeitspakete an einem Anfangspunkt entlang des Rohrs, und ein Index 2 bezeichnet Flüssigkeitspakete weiter unten im Rohr. Dann die Arbeit durch Druckkraft

an den Punkten 1 und 2 ist

und der Unterschied ist

Gleichsetzen mit der Änderung der Gesamtenergie (geschrieben als Die Summe der kinetischen und potentiellen Energien ergibt

Gleichsetzen von (6) und (5),

, was beim Neuanordnen

Wenn Sie also die Dichte als schreiben, erhalten Sie

Diese Größe ist für alle Punkte entlang der Stromlinie konstant, und dies ist Bernoullis Satz, der zuerst von Daniel formuliert wurde Bernoulli

im Jahr 1738. Obwohl es kein neues Prinzip ist, ist es Ausdruck des Gesetzes zur Erhaltung der mechanischen Energie in einer für die Strömungsmechanik bequemeren Form.

A more Die rigorose Ableitung erfolgt unter Verwendung der eindimensionalen Euler-Gleichung der nichtviskosen Bewegung

entlang einer Stromlinie, wobei u anstelle von v für die Geschwindigkeit verwendet wird (eine in der Strömungsmechanik übliche Konvention).Durch die Integration erhalten Sie

In einem Gravitationsfeld wird dies zu

Wenn der Fluss jedoch keine Vorticity aufweist,

aber

also für inkompressiblen Fluss

in der gesamten Flüssigkeit.

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