Maior número primo conhecido descoberto: por que é importante

No filme Contato, baseado no romance de mesmo nome de Carl Sagan, a Dra. Ellie Arroway procura por vida extraterrestre inteligente examinando o céu com radiotelescópios. Quando Arroway, interpretada por Jodie Foster, reconhece números primos em um sinal interplanetário, ela acredita que é a prova de que uma inteligência alienígena enviou uma mensagem à raça humana.

Um número é considerado primo se só for divisível por um e ele mesmo. Por exemplo, dois, três, cinco e sete são primos. O número 15, que é três vezes cinco, não é primo. Não é por acaso que Arroway acredita que os alienígenas em Contato usam números primos como um “olá” cósmico – eles são blocos de construção de outros números. Cada número é um produto de primos.

Em dezembro de 2017, o maior conhecido O número primo foi descoberto usando uma pesquisa de computador. O número primo foi descoberto por Jonathan Pace, um engenheiro elétrico que atualmente trabalha na FedEx. Por que isso é importante? Porque, sem os números primos, suas informações bancárias, as transações do Paypal ou as compras na Amazon podem ser comprometidas. p>

Grandes primos, como o que acabou de ser descoberto, desempenham um papel crítico na segurança cibernética. A criptografia é a ciência da codificação e decodificação de informações, e muitos de seus algoritmos, como RSA, dependem fortemente de números primos.

Primos de Mersenne

Embora existam infinitos primos, não há f ormula para gerar todos eles. Uma corrida está em andamento para encontrar números primos maiores usando uma mistura de técnicas matemáticas e computação.

Uma maneira de obter grandes números primos usa um conceito matemático descoberto pelo monge e estudioso francês do século 17, Marin Mersenne.

Um primo de Mersenne tem a forma 2ⁿ – 1, onde n é um número inteiro positivo. Os primeiros quatro são três, sete, 31 e 127.

Nem todo número da forma 2ⁿ – 1 é primo, entretanto; por exemplo, 2⁴ – 1 = 15. Se 2ⁿ – 1 é primo, então pode ser mostrado que o próprio n deve ser primo. Mas mesmo se n for primo, não há garantia de que o número 2ⁿ – 1 seja primo: 2¹¹ – 1 = 2.047, que não é primo porque é igual a 23 vezes 89.

Existem apenas 50 primos de Mersenne conhecidos . Uma conjectura não resolvida é que há um número infinito deles.

A busca por novos primos

A Grande Pesquisa Mersenne da Internet (ou GIMPS) é um esforço colaborativo de muitos indivíduos e equipes de todo o mundo para encontrar novos primos de Mersenne. George Woltman começou o GIMPS em 1996 e em 2018 inclui mais de 183.000 usuários voluntários contribuindo com o poder coletivo de mais de 1,6 milhão de CPUs.

O Mersenne prime descoberto mais recentemente é escrito sucintamente como 2⁷⁷²³²⁹¹⁷ – 1; que é dois multiplicado por si mesmo 77.232.917 vezes, menos um. A descoberta de Jonathan Pace levou seis dias de computação em uma CPU Intel i5-6600 quad-core e foi verificada de forma independente por quatro outros grupos.

O primo recém-descoberto tem incríveis 23.249.425 dígitos. Para ter uma noção de quão grande isso é, suponha que enchemos um livro com dígitos, cada dígito contado como uma palavra e cada livro tendo 100.000 palavras. Então, os dígitos de 2⁷⁷²³²⁹¹⁷ – 1 preencheriam cerca de 232 livros!

Como o GIMPS encontra os primos?

O GIMPS usa o teste Lucas-Lehmer para os primos. Para isso, forme uma sequência de inteiros começando com quatro, e cujos termos sejam o termo anterior ao quadrado e menos dois. O teste diz que o número 2ⁿ – 1 é primo se divide o (n-2) o termo na sequência.

Embora o teste de Lucas-Lehmer pareça fácil de verificar, o gargalo computacional na aplicação vem de números quadrados. A multiplicação de números inteiros é algo que toda criança em idade escolar pode fazer, mas para um grande número, isso representa problemas, até mesmo para computadores. Uma maneira de contornar isso é usar Fast Fourier Transforms (FFT), algoritmos que aceleram os cálculos.

Qualquer um pode se envolver com o GIMPS – contanto que você tenha um computador decente com conexão à Internet. O software livre para pesquisar primos de Mersenne pode ser encontrado no site do GIMPS.

Embora o maior primo conhecido seja incrivelmente massivo, há infinitamente muitos outros primos além dele esperando para serem descobertos. Como Ellie Arroway fez em Contact, só precisamos procurá-los.