College Algebra (Norsk)
Ved å se på grafen til en rasjonell funksjon, kan vi undersøke dens lokale atferd og enkelt se om det er asymptoter. Vi kan til og med være i stand til å tilnærme plasseringen deres. Selv uten grafen, kan vi likevel bestemme om en gitt rasjonell funksjon har noen asymptoter, og beregne plasseringen.
Vertikale asymptoter
De vertikale asymptotene til en rasjonell funksjon kan være funnet ved å undersøke faktorene til nevneren som ikke er felles for faktorene i telleren. Vertikale asymptoter forekommer ved nullene til slike faktorer.
Slik gjør du: Gitt en rasjonell funksjon, identifiser eventuelle vertikale asymptoter i grafen.
- Faktor telleren og nevner.
- Legg merke til eventuelle begrensninger i domenet til funksjonen.
- Reduser uttrykket ved å avbryte vanlige faktorer i telleren og nevneren.
- Legg merke til eventuelle verdier som fører til at nevneren er null i denne forenklede versjonen. Dette er hvor vertikale asymptoter forekommer.
- Legg merke til eventuelle begrensninger i domenet der asymptoter ikke forekommer. Dette er flyttbare diskontinuiteter.
Flyttbare diskontinuiteter
Noen ganger vil en graf inneholde et hull: et enkelt punkt der grafen ikke er definert, indikert av en åpen sirkel. Vi kaller et slikt hull for en flyttbar diskontinuitet.
Figur 10
En generell merknad: Flyttbare diskontinuiteter av rasjonelle funksjoner
En flyttbar diskontinuitet forekommer i grafen til en rasjonell funksjon ved x = a hvis a er null for en faktor i nevneren som er vanlig med en faktor i telleren. Vi faktoriserer teller og nevner og ser etter vanlige faktorer. Hvis vi finner noen, setter vi den felles faktoren lik 0 og løser. Dette er stedet for den flyttbare diskontinuiteten. Dette er sant hvis mangfoldet av denne faktoren er større enn eller lik den i nevneren. Hvis mangfoldet av denne faktoren er større i nevneren, er det fortsatt en asymptote til den verdien.
Horisontale asymptoter
Mens vertikale asymptoter beskriver oppførselen til en graf ettersom utgangen blir veldig stor eller veldig liten, horisontale asymptoter hjelper til med å beskrive oppførselen til en graf da inngangen blir veldig stor eller veldig liten. Husk at et polynomets sluttadferd vil speile den som er ledende. Likeledes vil en rasjonell funksjons endemåte speile forholdet mellom de ledende begrepene for teller- og nevnerfunksjonene.
Det er tre forskjellige utfall når du ser etter horisontale asymptoter:
Tilfelle 1: Hvis tellerens grad > tellerens grad, er det en horisontal asymptote ved y = 0.
Tilfelle 2: Hvis graden av nevneren < grad av teller en, får vi en skrå asymptote.
Legg merke til at mens grafen til en rasjonell funksjon aldri vil krysse en vertikal asymptote, graf kan krysse eller ikke krysse en horisontal eller skrå asymptote. Selv om grafen til en rasjonell funksjon kan ha mange vertikale asymptoter, vil grafen maksimalt ha en horisontal (eller skrå) asymptote.
Det bør bemerkes at hvis telleren er større enn graden av nevneren med mer enn en, vil sluttatferden til grafen etterligne oppførselen til den reduserte endeadferdsfraksjonen. For eksempel hvis vi hadde funksjonen
med sluttatferd
slutten oppførselen til grafen vil se ut som en jevn polynom med en positiv ledende koeffisient.
En generell merknad: Horisontale asymptoter av Rasjonelle funksjoner
Den horisontale asymptoten til en rasjonell funksjon kan bestemmes ved å se på grader av teller og nevner.
- Tellergrad er mindre enn grad av nevner: horisontal asymptote ved y = 0.
- Tellergrad er større enn grad av nevner en: ingen horisontal asymptote; skrå asymptote.
- Tellergrad er lik grad av nevner: horisontal asymptote i forholdet til ledende koeffisienter.
En generell merknad: Avlyttinger av rasjonelle funksjoner
En rasjonell funksjon vil ha et y-skjæringspunkt når inngangen er null, hvis funksjon er definert til null. En rasjonell funksjon vil ikke ha et y-skjæringspunkt hvis funksjonen ikke er definert ved null.
På samme måte vil en rasjonell funksjon ha x-avskjæringer ved inngangene som får utgangen til å være null. Siden en brøk bare er lik null når telleren er null, kan x-avskjæringer bare forekomme når telleren for den rasjonelle funksjonen er lik null.
Prøv det 7
Gitt den gjensidige kvadratiske funksjonen som er forskjøvet til høyre 3 enheter og ned 4 enheter, skriv dette som en rasjonell funksjon. Finn deretter x– og y-avskjæringer og de horisontale og vertikale asymptotene.
Løsning