Comment trouver laire dun pentagone (formule et exemple)

Laire dun pentagone

Laire de un pentagone est lespace à lintérieur de ses cinq côtés droits. La plupart du temps, vous serez chargé de trouver laire dun pentagone régulier, donc cette leçon ne couvrira pas les pentagones irréguliers.

Un pentagone régulier a des côtés égaux et des angles congruents. Il existe quelques méthodes que vous pouvez utiliser pour calculer laire dun pentagone régulier. Une méthode utilise une longueur de côté et une longueur de lapothème.

Apothème dun Pentagone

Lapothème dun pentagone est un segment de ligne allant du centre du pentagone à un côté du Pentagone. Lapothème est perpendiculaire au côté. Tous les polygones réguliers ont un apothème. Pour un polygone de n côtés, il y a n apothèmes.

Aire dune formule du Pentagone

Pour trouver laire dun pentagone avec lapothème, a et une longueur de côté, s , vous utilisez laire dune formule pentagone:

Et si vous ne connaissez pas lapothème de votre pentagone? Vous pouvez toujours trouver laire dun pentagone régulier si vous connaissez:

• Un peu de trigonométrie
• La longueur dun côté
• Chaque angle intérieur mesure 108 °

Vous savez que chaque angle intérieur mesure 108 ° parce que vous connaissez un peu les angles extérieurs et les polygones. Vous savez que:

• La somme des angles extérieurs de nimporte quel polygone sadditionne à 360 °
• Langle extérieur est le complément de langle intérieur (intérieur + extérieur = 180 °)

Pour trouver la mesure de chaque extérieur dun polygone régulier, vous divisez 360 ° par le nombre de côtés. Pour un pentagone à 360 ° 5. Cela nous indique que chaque angle extérieur est de 72 °

Nous pouvons maintenant lutiliser pour déterminer la mesure de chaque angle intérieur. Noubliez pas que langle extérieur et langle intérieur doivent être de 180 °, donc nous avons 180 ° – 72 ° = 108 °. Chaque angle intérieur est égal à 108 °.

Comment trouver lapothème et laire dun pentagone

En utilisant la longueur dun côté et la mesure de langle intérieur, calculons le longueur de lapothème et trouvez laire dun pentagone régulier.

Disons que nous avons un pentagone avec une longueur de côté de 4 cm. Divisez le pentagone en cinq triangles isocèles, chacun avec une base formée par les côtés du pentagone.

Divisez lun de ces triangles en deux triangles rectangles:

Vous savez maintenant tout cela autour du triangle rectangle:

• La longueur de la jambe courte du triangle (12 du côté du pentagone)
• Langle droit (angle de 90 °) est opposé à lhypoténuse (médiatrice perpendiculaire du côté)
• Angle aigu de 36 ° face à la jambe courte 360 ° divisé en 10 triangles rectangles)
• Angle aigu de 54 ° face à la jambe longue (12 de langle intérieur de 108 ° )

La tangente dun angle (ici, notre angle de 36 °) est le côté opposé (la jambe courte) divisé par le côté adjacent (la jambe longue, qui est à la fois la hauteur de la triangle et lapothème du pentagone):

tan (36 °) = opposeadjacent

tan (36 °) = opposéh

h × tan (36 ° ) = opposé

h = oppositetan (36 °)

Le bronzage (36 °) est denviron 0,727, donc nous avons le côté opposé (la jambe courte) de 2 cm div par 0,727:

h = 20,727 = 2,75 cm

Avec la hauteur, h, du triangle maintenant établi et connaissant la base du triangle (12; côté pentagone), b, vous pouvez maintenant appliquer la formule pour laire dun triangle:

Nous avons 10 de ces triangles rectangles, nous modifions donc la formule de laire du triangle et calculons laire de notre pentagone régulier: