Identifier les asymptotes verticales et horizontales | Algèbre universitaire

novembre 8, 2020

Algèbre universitaire (Français)

En regardant le graphe dune fonction rationnelle, nous pouvons étudier son comportement local et voir facilement sil y a des asymptotes. Nous pourrons peut-être même estimer leur emplacement. Même sans le graphique, cependant, nous pouvons toujours déterminer si une fonction rationnelle donnée a des asymptotes, et calculer leur emplacement.

Asymptotes verticales

Les asymptotes verticales dune fonction rationnelle peuvent être trouvé en examinant les facteurs du dénominateur qui ne sont pas communs aux facteurs du numérateur. Les asymptotes verticales se produisent aux zéros de ces facteurs.

Comment faire: Étant donné une fonction rationnelle, identifiez les asymptotes verticales de son graphique.

Factorisez le numérateur et dénominateur.
Notez toutes les restrictions dans le domaine de la fonction.
Réduisez lexpression en annulant les facteurs communs dans le numérateur et le dénominateur.
Notez toutes les valeurs qui font que le dénominateur est nul dans cette version simplifiée. Cest là que se produisent les asymptotes verticales.
Notez toutes les restrictions dans le domaine où les asymptotes ne se produisent pas. Ce sont des discontinuités amovibles.

Discontinuités amovibles

Parfois, un graphique contiendra un trou: un seul point où le graphique nest pas défini, indiqué par un cercle ouvert. Nous appelons un tel trou une discontinuité amovible.

f \ left (x \ right) = \ frac {\ left (x + 1 \ right) \ left (x – 1 \ right)} {\ left (x + 1 \ right) \ left (x – 3 \ right)}

Figure 10

Note générale: discontinuités amovibles des fonctions rationnelles

Une discontinuité amovible se produit dans le graphe dune fonction rationnelle à x = a si a est un zéro pour un facteur du dénominateur commun avec un facteur du numérateur. Nous factorisons le numérateur et le dénominateur et vérifions les facteurs communs. Si nous en trouvons, nous fixons le facteur commun égal à 0 et résolvons. Cest lemplacement de la discontinuité amovible. Cela est vrai si la multiplicité de ce facteur est supérieure ou égale à celle du dénominateur. Si la multiplicité de ce facteur est plus grande dans le dénominateur, alors il y a toujours une asymptote à cette valeur.

Asymptotes horizontales

Alors que les asymptotes verticales décrivent le comportement dun graphique lorsque la sortie devient très grande ou très petite, les asymptotes horizontales aident à décrire le comportement dun graphique lorsque lentrée devient très grande ou très petite. Rappelez-vous que le comportement final d’un polynôme reflétera celui du terme principal. De même, le comportement final dune fonction rationnelle reflétera celui du rapport des termes principaux des fonctions numérateur et dénominateur.

Il y a trois résultats distincts lors de la vérification des asymptotes horizontales:

Cas 1: Si le degré du dénominateur > degré du numérateur, il y a une asymptote horizontale à y = 0.

\ text {Exemple:} f \ left (x \ right) = \ frac {4x + 2} {{x} ^ {2} + 4x – 5}

Cas 2: Si le degré du dénominateur < degré du numérateur par un, on obtient une asymptote oblique.

\ text {Exemple:} f \ left (x \ right) = \ frac {3 {x} ^ {2} -2x + 1} {x – 1}

\ text {Exemple:} f \ left (x \ right) = \ frac {3 {x} ^ {2} +2} {{x} ^ {2 } + 4x – 5}

Notez que, si le graphique dune fonction rationnelle ne traversera jamais une asymptote verticale, le graphique peut ou non traverser une horizontale ou asymptote oblique. Aussi, bien que le graphique dune fonction rationnelle puisse avoir de nombreuses asymptotes verticales, le graphique aura au plus une asymptote horizontale (ou oblique).

Il convient de noter que, si le degré du numérateur est plus grand que le degré du dénominateur par plus dun, le comportement final du graphe imite le comportement de la fraction de comportement final réduite. Par exemple, si nous avions la fonction

f \ left (x \ right) = \ frac {3 {x} ^ {5} – {x} ^ { 2}} {x + 3}

avec comportement de fin

f \ left (x \ right) \ approx \ frac {3 {x } ^ {5}} {x} = 3 {x} ^ {4},

le comportement final du graphe ressemblerait à celui dun polynôme pair avec un coefficient dominant positif.

x \ to \ pm \ infty, f \ left (x \ right) \ to \ infty

Note générale: Asymptotes horizontales de Fonctions rationnelles

Lasymptote horizontale dune fonction rationnelle peut être déterminée en regardant les degrés du numérateur et du dénominateur.

Le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur: asymptote horizontale à y = 0.
Le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur de un: pas dasymptote horizontale; asymptote oblique.
Le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur: asymptote horizontale au rapport des coefficients principaux.

Une note générale: les interceptions de fonctions rationnelles

Une fonction rationnelle aura un ordonnée à lorigine lorsque lentrée est zéro, si le La fonction est définie à zéro. Une fonction rationnelle naura pas dordonnée à lorigine si la fonction nest pas définie à zéro.

De même, une fonction rationnelle aura des abscisses aux entrées qui font que la sortie est nulle. Puisquune fraction nest égale à zéro que lorsque le numérateur est zéro, les abscisses à lorigine ne peuvent se produire que lorsque le numérateur de la fonction rationnelle est égal à zéro.

Try It 7

Compte tenu de la fonction réciproque au carré qui est décalée vers la droite de 3 unités et vers le bas de 4 unités, écrivez ceci comme une fonction rationnelle. Ensuite, trouvez les intersections x et y et les asymptotes horizontales et verticales.

Solution

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