populaation keskiarvon arviointi

Perusarvopisteiden ja intervallien arviointiprosessi sisältää populaation keskiarvon arvioinnin. Oletetaan, että on kiinnostavaa arvioida populaation keskiarvo μ kvantitatiiviselle muuttujalle. Yksinkertaisesta satunnaisotoksesta kerättyjä tietoja voidaan käyttää otoskeskiarvon laskemiseen x̄, jossa x̄: n arvo antaa pistearvon μ: stä.

Kun otoksen keskiarvoa käytetään populaation pisteestimaattina Tarkoituksena on odottaa jonkin verran virhettä johtuen siitä, että pistearvion laskemiseen käytetään otosta tai populaation osajoukkoa. Näytekeskiarvon x̄ ja populaatiokeskiarvon μ välisen erotuksen absoluuttista arvoa, kirjoitettua | x̄ – μ |, kutsutaan otantavirheeksi. Intervalliarviointi sisältää todennäköisyyslausunnon otantavirheen suuruudesta. X̄: n otosjakauma antaa perustan tällaiselle lausunnolle.

Tilastotieteilijät ovat osoittaneet, että x̄: n otosjakauman keskiarvo on yhtä suuri kuin populaation keskiarvo μ ja että keskihajonnan antaa σ /√n neliöjuuri, jossa σ on populaation keskihajonta. Näytteenottojakauman keskihajontaa kutsutaan standardivirheeksi. Suurille näytekokoille keskirajalauseke osoittaa, että x that: n otosjakauma voidaan arvioida normaalilla todennäköisyysjakaumalla. Käytännössä tilastotieteilijät pitävät yleensä kokoa 30 tai suurempia näytteitä suurina.

Suuren otoksen tapauksessa 95%: n luottamusväliestimaatti populaatiokeskiarvolle saadaan x̄ ± 1,96σ / Nelin neliöjuuri. Kun populaation keskihajontaa σ ei tunneta, näytteen standardipoikkeamaa käytetään estimaatimaan σ luottamusvälikaavassa. Määrää 1,96σ / N: n neliöjuuria kutsutaan usein estimaatin virhemarginaaliksi. Ön: n määrä σ / neliöjuuri on standardivirhe, ja 1,96 on standardivirheiden lukumäärä keskiarvosta, joka tarvitaan sisällyttämään 95% arvoista normaalijakaumaan. 95%: n luottamusvälin tulkinta on, että 95% tällä tavalla muodostetuista aikaväleistä sisältää populaation keskiarvon. Näin ollen millä tahansa tällä tavalla lasketulla aikavälillä on 95%: n varmuus väestökeskiarvon sisällyttämisestä. Muuttamalla vakio arvosta 1,96 arvoon 1,645 voidaan saavuttaa 90%: n luottamusväli. Intervalliarvion kaavasta on huomattava, että 90%: n luottamusväli on kapeampi kuin 95%: n luottamusväli ja sellaisenaan sillä on hieman pienempi luottamus sisällyttää populaation keskiarvo. Alempi luottamustaso johtaa vielä kapeammiin väleihin. Käytännössä 95%: n luottamusväli on yleisimmin käytetty.

Koska n1 / 2-termi esiintyy intervalliarvion kaavassa, otoksen koko vaikuttaa virhemarginaaliin. Suuremmat otoskoot johtavat pienempiin virhemarginaaleihin. Tämä havainto muodostaa perustan menettelyille, joita käytetään otoksen koon valitsemiseen. Näytekoot voidaan valita siten, että luottamusväli täyttää kaikki toivotut virhemarginaalin vaatimukset.

Juuri kuvattu menetelmä populaatiokeskiarvon väliarvioestimaattien kehittämiseksi perustuu suuren arvon käyttöön. näyte. Pienen otoksen tapauksessa – ts. Kun otoskoko n on alle 30 – t-jakaumaa käytetään virhemarginaalin määrittämisessä ja luottamusväliestimaatin muodostamisessa. Esimerkiksi 95%: n luotettavuustasolla t-jakauman arvo, joka määritetään n: n arvolla, korvaisi normaalijakaumasta saadun 1,96-arvon. T-arvot ovat aina suurempia, mikä johtaa laajempiin luottamusväleihin, mutta kun otoksen koko kasvaa, t-arvot lähestyvät vastaavia arvoja normaalijakaumasta. Kun otoskoko on 25, käytetty t-arvo olisi 2,064 verrattuna normaaliin todennäköisyysjakauma-arvoon 1,96 suuren otoksen tapauksessa.