Cómo encontrar el área de un Pentágono (fórmula y ejemplo)

Área de un Pentágono

El área de un pentágono es el espacio dentro de sus cinco lados rectos. La mayoría de las veces, se le asignará la tarea de encontrar el área de un pentágono regular, por lo que esta lección no cubrirá los pentágonos irregulares.

Un pentágono regular tiene lados iguales y ángulos congruentes. Hay un par de métodos que puede utilizar para calcular el área de un pentágono regular. Un método usa la longitud de un lado y la longitud del apotema.

Apotema de un Pentágono

El apotema de un pentágono es un segmento de línea desde el centro del pentágono hasta un lado pentágono. La apotema es perpendicular al lado. Todos los polígonos regulares tienen una apotema. Para un polígono de n lados, hay n apotemas.

Fórmula del área de un pentágono

Para encontrar el área de un pentágono con la apotema, a, y la longitud de un lado, s , usa el área de una fórmula del pentágono:

¿Y si ¿No conoces la apotema de tu pentágono? Aún puede encontrar el área de un pentágono regular si sabe:

• Un poco de trigonometría
• La longitud de un lado
• Cada ángulo interior mide 108 °

Sabes que cada ángulo interior mide 108 ° porque sabes algunas cosas sobre ángulos y polígonos exteriores. Usted sabe que:

• La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono suma 360 °
• El ángulo exterior es el suplemento del ángulo interior (interior + exterior = 180 °)

Para encontrar la medida de cada exterior de un polígono regular, divide 360 ° por el número de lados. Para un pentágono de 360 ° 5. Esto nos dice que cada ángulo exterior es de 72 °

Ahora podemos usar eso para determinar la medida de cada ángulo interior. Recuerde, el ángulo exterior y el ángulo interior deben sumar 180 °, por lo que tenemos 180 ° – 72 ° = 108 °. Cada ángulo interior es igual a 108 °.

Cómo encontrar la apotema y el área de un Pentágono

Usando la longitud de un lado y la medida del ángulo interior, calculemos la apotema y encontrar el área de un pentágono regular.

Digamos que tenemos un pentágono con una longitud de lado de 4 cm. Divide el pentágono en cinco triángulos isósceles, cada uno con una base formada por los lados del pentágono.

Divide cualquiera de esos triángulos en dos triángulos rectángulos:

Ahora sabes todo esto sobre el triángulo rectángulo:

• La longitud del cateto corto del triángulo (12 el lado del pentágono)
• El ángulo recto (ángulo de 90 °) es opuesto a la hipotenusa (bisectriz perpendicular del lado)
• Ángulo agudo de 36 ° opuesto al lado corto 360 ° dividido entre 10 triángulos rectángulos)
• Ángulo agudo de 54 ° opuesto al lado largo (12 del ángulo interior de 108 ° )

La tangente de un ángulo (aquí, nuestro ángulo de 36 °) es el lado opuesto (el lado corto) dividido por el lado adyacente (el lado largo, que es tanto la altura del triángulo y la apotema del pentágono):

tan (36 °) = opuesto adyacente

tan (36 °) = opuestoh

h × tan (36 ° ) = opuesto

h = opuestotan (36 °)

El bronceado (36 °) es aproximadamente 0.727, por lo que tenemos el lado opuesto (la pierna corta) de 2 cm div ideado por 0,727:

h = 20,727 = 2,75 cm

Con la altura, h, del triángulo ahora establecida y conociendo la base del triángulo (12; el lado del pentágono), b, ahora puede aplicar la fórmula para el área de un triángulo:

Tenemos 10 de esos triángulos rectángulos, por lo que modificamos la fórmula del área del triángulo y calculamos el área de nuestro pentágono regular: