Hur man hittar området för en Pentagon (formel och exempel)

Område för en Pentagon

Området för en femkant är utrymmet inuti dess fem raka sidor. För det mesta får du i uppgift att hitta området för en vanlig femkant, så den här lektionen täcker inte oregelbundna pentagoner.

En vanlig femkant har lika sidor och kongruenta vinklar. Det finns ett par metoder du kan använda för att beräkna ytan för en vanlig femkant. En metod använder en sidolängd och en längd av apotemet.

Apotem för en Pentagon

Apotemet för en pentagon är ett linjesegment från centrum av pentagon till en sida av femkant. Apotemet är vinkelrätt mot sidan. Alla vanliga polygoner har ett apotem. För en polygon med n sidor finns det n apotems.

Område för en Pentagon-formel

För att hitta ytan för en femkant med apotem, a och en sidolängd, s använder du området med en femkantig formel:

Vad händer om du känner inte apotemet till din femkant? Du kan fortfarande hitta området för en vanlig femkant om du vet:

• Lite trigonometri
• Längden på en sida
• Varje inre vinkel mäter 108 °

Du vet att varje inre vinkel mäter 108 ° eftersom du vet några saker om yttre vinklar och polygoner. Du vet att:

• Summan av de yttre vinklarna på vilken polygon som helst lägg upp till 360 °
• Den yttre vinkeln är komplementet till den inre vinkeln (inre + yttre = 180 °)

För att hitta måttet på varje yttre del av en vanlig polygon delar du 360 ° med antalet sidor. För en femkant som är 360 ° 5. Detta berättar för oss att varje yttre vinkel är 72 °

Nu kan vi använda den för att bestämma måttet på varje inre vinkel. Kom ihåg att den yttre vinkeln och den inre vinkeln måste öka till 180 °, så vi har 180 ° – 72 ° = 108 °. Varje inre vinkel är lika med 108 °.

Hur man hittar apotemet och området för en Pentagon

Med hjälp av längden på en sida och måttet på den inre vinkeln, låt oss beräkna apothem längd och hitta området för en vanlig femkant.

Låt oss säga att vi har en femkant med en sidolängd på 4 cm. Dela upp femkanten i fem likböjda trianglar, var och en med en bas bildad av femkantens sidor.

Dela upp en av dessa trianglar i två högra trianglar:

Du vet nu allt detta om den högra triangeln:

• Längden på triangelns korta ben (12 femkantens sida)
• Den högra vinkeln (90 ° vinkel) är mittemot hypotenusen (vinkelrät halvering) på sidan)
• 36 ° spetsig vinkel motsatt det korta benet 360 ° fördelat på 10 högra trianglar)
• 54 ° spetsig vinkel mitt emot det långa benet (12 av den inre vinkeln på 108 ° )

Tangensen för en vinkel (här, vår 36 ° vinkel) är motsatt sida (det korta benet) dividerat med intilliggande sida (det långa benet, som både är höjden på triangel och femkantens apotem):

tan (36 °) = motsatt intilliggande

tan (36 °) = motsatt h

h × tan (36 ° ) = motsatt

h = oppositetan (36 °)

Solbränna (36 °) är ungefär 0,727, så vi har motsatt sida (det korta benet) på 2 cm div identifierad av 0,727:

h = 20,727 = 2,75 cm

Med höjden, h, för triangeln nu etablerad och känner till triangelns bas (12; pentagonens sida), b, kan du nu tillämpa formeln för en triangel:

Vi har 10 sådana högra trianglar, så vi ändrar formeln för triangelområdet och beräknar ytan för vår vanliga femkant: