College Algebra (Svenska)
Genom att titta på diagrammet för en rationell funktion kan vi undersöka dess lokala beteende och enkelt se om det finns asymptoter. Vi kan till och med kunna approximera deras plats. Även utan diagrammet kan vi dock fortfarande avgöra om en given rationell funktion har några asymptoter och beräkna deras placering.
Vertikala asymptoter
De vertikala asymptoterna för en rationell funktion kan vara hittas genom att undersöka de faktorer som nämnaren som inte är gemensamma för faktorerna i täljaren. Vertikala asymptoter förekommer vid nollor av sådana faktorer.
Hur: Gett en rationell funktion, identifiera eventuella vertikala asymptoter i dess graf.
- Faktor täljaren och nämnare.
- Notera eventuella begränsningar i funktionens domän.
- Minska uttrycket genom att avbryta vanliga faktorer i täljaren och nämnaren.
- Notera eventuella värden som gör att nämnaren är noll i denna förenklade version. Det är här de vertikala asymptoterna förekommer.
- Observera eventuella begränsningar i domänen där asymptoter inte förekommer. Dessa är borttagbara diskontinuiteter.
Flyttbara diskontinuiteter
Ibland kommer en graf att innehålla ett hål: en enda punkt där diagrammet inte är definierat, indikerat av en öppen cirkel. Vi kallar ett sådant hål för borttagbar diskontinuitet.
Figur 10
En allmän anmärkning: Flyttbara diskontinuiteter av rationella funktioner
En avlägsnande diskontinuitet förekommer i diagrammet för en rationell funktion vid x = a om a är en noll för en faktor i nämnaren som är gemensam med en faktor i täljaren. Vi faktorerar täljaren och nämnaren och letar efter vanliga faktorer. Om vi hittar någon sätter vi den gemensamma faktorn lika med 0 och löser. Detta är platsen för den avtagbara diskontinuiteten. Detta är sant om mångfalden av denna faktor är större än eller lika med nämnaren. Om multiplikationen av denna faktor är större i nämnaren, finns det fortfarande en asymptot vid det värdet.
Horisontella asymptoter
Medan vertikala asymptoter beskriver beteendet hos en diagram eftersom utdata blir mycket stora eller mycket små, horisontella asymptoter hjälper till att beskriva beteendet hos en graf eftersom ingången blir mycket stor eller mycket liten. Kom ihåg att en polynoms slutbeteende kommer att spegla den ledande termen. Likaså kommer en rationell funktions slutbeteende att spegla förhållandet mellan de ledande termerna för täljaren och nämnarens funktioner.
Det finns tre distinkta resultat när man letar efter horisontella asymptoter:
Fall 1: Om nämnarens grad > -graden för täljaren finns en horisontell asymptot vid y = 0.
Fall 2: Om nämnarens grad < grad av täljaren en, får vi en sned asymptot.
Lägg märke till att medan grafen för en rationell funktion aldrig kommer att korsa en vertikal asymptot, grafen kan eller kanske inte korsar en horisontell eller lutande asymptot. Även om grafen för en rationell funktion kan ha många vertikala asymptoter, kommer grafen att ha högst en horisontell (eller sned) asymptot.
Det bör noteras att om graden av täljare är större än graden av nämnaren med mer än en, kommer grafens slutbeteende att efterlikna beteendet hos den reducerade ändbeteendefraktionen. Till exempel om vi hade funktionen
med slutbeteende
grafens slutbeteende skulle se ut som en jämn polynom med en positiv ledande koefficient.
En allmän anmärkning: Horisontella asymptoter av Rationella funktioner
Den rationella funktionens horisontella asymptot kan bestämmas genom att titta på täljarens och nämnarens grader.
- Graden av täljare är mindre än nämnarens grad: horisontell asymptot vid y = 0.
- Täljgraden är större än nämnarens grad med en: ingen horisontell asymptot; lutande asymptot.
- Täljarens grad är lika med nämnarens grad: horisontell asymptot i förhållandet mellan ledande koefficienter.
En allmän anmärkning: Avlyssningar av rationella funktioner
En rationell funktion har en y-skärning när ingången är noll, om funktionen definieras som noll. En rationell funktion kommer inte att ha en y-skärning om funktionen inte är definierad vid noll.
På samma sätt kommer en rationell funktion att ha x-avlyssningar vid ingångarna som orsakar att utgången är noll. Eftersom en bråk bara är lika med noll när täljaren är noll, kan x-avlyssningar endast inträffa när täljaren för den rationella funktionen är lika med noll.
Prova det 7
Med tanke på den ömsesidiga kvadratfunktionen som flyttas åt höger 3 enheter och ner 4 enheter, skriv detta som en rationell funktion. Hitta sedan x– och y-avlyssningar och de horisontella och vertikala asymptoterna.
Lösning