So finden Sie die Fläche eines Pentagons (Formel & Beispiel)

Fläche eines Pentagons

Die Fläche von Ein Fünfeck ist der Raum innerhalb seiner fünf geraden Seiten. Meistens müssen Sie den Bereich eines regulären Fünfecks ermitteln, sodass in dieser Lektion keine unregelmäßigen Fünfecke behandelt werden.

Ein normales Fünfeck hat gleiche Seiten und kongruente Winkel. Es gibt verschiedene Methoden, mit denen Sie die Fläche eines regulären Fünfecks berechnen können. Eine Methode verwendet eine Seitenlänge und Länge des Apothems.

Apothem eines Pentagons

Das Apothem eines Fünfecks ist ein Liniensegment von der Mitte des Fünfecks zu einer Seite des Pentagon. Das Apothem ist senkrecht zur Seite. Alle regulären Polygone haben ein Apothem. Für ein Polygon mit n Seiten gibt es n Apotheme.

Fläche einer Pentagonformel

Um die Fläche eines Fünfecks mit dem Apothem a und einer Seitenlänge s zu ermitteln verwenden Sie die Fläche einer Fünfeckformel:

Was wäre wenn Sie kennen das Apothem Ihres Fünfecks nicht? Sie können immer noch die Fläche eines regulären Fünfecks finden, wenn Sie wissen:

• Eine kleine Trigonometrie
• Die Länge einer Seite
• Jeder Innenwinkel misst 108 °

Sie wissen, dass jeder Innenwinkel 108 ° misst, weil Sie einige Dinge über Außenwinkel und Polygone wissen. Sie wissen, dass:

• Die Summe der Außenwinkel eines Polygons ergibt 360 °.
• Der Außenwinkel ist die Ergänzung des Innenwinkels (Innen + Außen = 180 °)

Um das Maß für jedes Äußere eines regulären Polygons zu ermitteln, teilen Sie 360 ° durch die Anzahl der Seiten. Für ein Fünfeck ist das 360 ° 5. Dies sagt uns, dass jeder Außenwinkel 72 ° beträgt.

Jetzt können wir damit das Maß für jeden Innenwinkel bestimmen. Denken Sie daran, dass sich der Außenwinkel und der Innenwinkel zu 180 ° addieren müssen, sodass wir 180 ° – 72 ° = 108 ° haben. Jeder Innenwinkel entspricht 108 °.

So finden Sie das Apothem und die Fläche eines Pentagons

Berechnen wir anhand der Länge einer Seite und des Maßes für den Innenwinkel die apothem Länge und finden Sie die Fläche eines regulären Fünfecks.

Nehmen wir an, wir haben ein Fünfeck mit einer Seitenlänge von 4 cm. Teilen Sie das Fünfeck in fünf gleichschenklige Dreiecke mit jeweils einer Basis, die von den Seiten des Fünfecks gebildet wird.

Teilen Sie eines dieser Dreiecke in zwei rechtwinklige Dreiecke:

Sie wissen jetzt alles über das rechte Dreieck:

• Die Länge des kurzen Beins des Dreiecks (12 die Seite des Fünfecks)
• Der rechte Winkel (90 ° -Winkel) liegt gegenüber der Hypotenuse (senkrechte Winkelhalbierende) der Seite)
• 36 ° spitzer Winkel gegenüber dem kurzen Bein 360 ° aufgeteilt auf 10 rechtwinklige Dreiecke)
• 54 ° spitzer Winkel gegenüber dem langen Bein (12 des 108 ° Innenwinkels )

Die Tangente eines Winkels (hier unser 36 ° -Winkel) ist die gegenüberliegende Seite (das kurze Bein) geteilt durch die benachbarte Seite (das lange Bein, das beide die Höhe des Winkels ist) Dreieck und das Apothem des Fünfecks):

tan (36 °) = gegenüberliegend

tan (36 °) = gegenüber

h × tan (36 °) ) = entgegengesetzt

h = oppositetan (36 °)

Die Bräune (36 °) beträgt ungefähr 0,727, also haben wir die gegenüberliegende Seite (das kurze Bein) von 2 cm div identifiziert durch 0,727:

h = 20,727 = 2,75 cm

Mit der Höhe h des Dreiecks, die jetzt festgelegt wurde und die Basis des Dreiecks kennt (12; die Seite des Fünfecks), b, können Sie jetzt die Formel für die Fläche eines Dreiecks anwenden:

Wir haben 10 solcher rechtwinkligen Dreiecke, also ändern wir die Dreiecksflächenformel und berechnen die Fläche unseres regulären Fünfecks: