Estimarea unei medii populaționale

Cel mai fundamental proces de estimare a punctelor și a intervalelor implică estimarea unei medii populaționale. Să presupunem că este de interes să estimăm media populației, μ, pentru o variabilă cantitativă. Datele colectate dintr-un eșantion simplu aleatoriu pot fi utilizate pentru a calcula media eșantionului, x̄, unde valoarea lui x̄ oferă o estimare punctuală a μ.

Când media eșantionului este utilizată ca estimare punctuală a populației Adică, se poate aștepta o anumită eroare datorită faptului că un eșantion sau un subgrup al populației este utilizat pentru a calcula estimarea punctuală. Valoarea absolută a diferenței dintre media eșantionului, x̄ și media populației, μ, scrisă | x̄ – μ |, se numește eroare de eșantionare. Estimarea intervalului încorporează o declarație de probabilitate despre magnitudinea erorii de eșantionare. Distribuția prin eșantionare a lui x̄ oferă baza pentru o astfel de afirmație.

Statisticienii au arătat că media distribuției prin eșantionare a lui x to este egală cu media populației, μ și că abaterea standard este dată de σ / Rădăcina pătrată a lui √n, unde σ este deviația standard a populației. Abaterea standard a unei distribuții de eșantionare se numește eroare standard. Pentru dimensiuni mari ale eșantionului, teorema limitei centrale indică faptul că distribuția eșantionării lui x̄ poate fi aproximată printr-o distribuție normală de probabilitate. Ca o chestiune de practică, statisticienii consideră, de obicei, eșantioane de dimensiunea 30 sau mai mari ca fiind mari. / Rădăcina pătrată a √n. Când abaterea standard a populației, σ, este necunoscută, abaterea standard a eșantionului este utilizată pentru a estima σ în formula intervalului de încredere. Cantitatea 1.96σ / rădăcină pătrată a lui √n este adesea numită marja de eroare pentru estimare. Cantitatea σ / rădăcină pătrată a √n este eroarea standard, iar 1,96 este numărul de erori standard din media necesară pentru a include 95% din valori într-o distribuție normală. Interpretarea unui interval de încredere de 95% este că 95% din intervalele construite în acest mod vor conține media populației. Astfel, orice interval calculat în acest mod are o încredere de 95% în conținerea mediei populației. Prin schimbarea constantei de la 1,96 la 1,645, se poate obține un interval de încredere de 90%. Trebuie remarcat din formula pentru o estimare a intervalului că un interval de încredere de 90% este mai restrâns decât un interval de încredere de 95% și ca atare are o încredere ușor mai mică de a include media populației. Niveluri mai scăzute de încredere duc la intervale și mai înguste. În practică, un interval de încredere de 95% este cel mai utilizat.

Datorită prezenței termenului n1 / 2 în formula pentru o estimare a intervalului, dimensiunea eșantionului afectează marja de eroare. Dimensiunile mai mari ale eșantionului duc la marje mai mici de eroare. Această observație stă la baza procedurilor utilizate pentru selectarea mărimii eșantionului. Mărimile eșantionului pot fi alese astfel încât intervalul de încredere să satisfacă orice cerințe dorite cu privire la dimensiunea marjei de eroare.

Procedura descrisă pentru dezvoltarea estimărilor de interval ale unei medii a populației se bazează pe utilizarea unei valori mari probă. În cazul eșantionului mic – adică, unde dimensiunea eșantionului n este mai mică de 30 – distribuția t este utilizată atunci când se specifică marja de eroare și se construiește o estimare a intervalului de încredere. De exemplu, la un nivel de încredere de 95%, o valoare din distribuția t, determinată de valoarea lui n, ar înlocui valoarea 1,96 obținută din distribuția normală. Valorile t vor fi întotdeauna mai mari, ducând la intervale mai mari de încredere, dar, pe măsură ce dimensiunea eșantionului devine mai mare, valorile t se apropie de valorile corespunzătoare dintr-o distribuție normală. Cu o dimensiune a eșantionului de 25, valoarea t utilizată ar fi 2.064, în comparație cu valoarea normală de distribuție a probabilității de 1.96 în cazul eșantionului mare.