Distribuição de Poisson
Dado um processo de Poisson, a probabilidade de obter exatamente 
sucessos em 
tentativas é dada pelo limite de uma distribuição binomial
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(1)
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Visualização da distribuição como uma função do número esperado de sucessos
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(2)
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em vez do tamanho da amostra 
para 
fixa, a equação (2) torna-se
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Deixando o tamanho da amostra 
aumentar, a distribuição se aproxima de
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que é conhecida como distribuição de Poisson (Papoulis 1984, pp. 101 e 554; Pfeiffer e Schum 1973, p. 200). Observe que o tamanho da amostra 
saiu completamente da função de probabilidade, que tem a mesma forma funcional para todos os valores de 
.
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(9 )
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A razão de probabilidades é dada por
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A distribuição de Poisson atinge o máximo quando
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onde é a constante de Euler-Mascheroni e 
é um número harmônico, levando à equação transcendental
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que não pode ser resolvido exatamente para 
.
A função de geração de momento da distribuição de Poisson é fornecida por
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então
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(Papoulis 1984, p. 554).
Os momentos brutos também podem ser calculados diretamente por soma, o que produz uma conexão inesperada com o polinômio de Bell 
e números de Stirling de segundo tipo,
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conhecida como fórmula de Dobiński.Portanto,
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Os momentos centrais podem então ser calculados como
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então o excesso de média, variância, assimetria e curtose são
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A função característica para a distribuição Poissond é
(Papoulis 1984, pp. 154 e 554), e a função geradora de cumulante é
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(34)
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então
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O desvio médio da distribuição de Poisson é dado por
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A distribuição de Poisson também pode ser expressa em termos de
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A função geradora de momento de uma distribuição de Poisson em duas variáveis é fornecida por
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Se as variáveis independentes 
, 
, …, 
têm distribuições de Poisson com parâmetros 
, 
, …, 
e, em seguida,
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tem uma distribuição Poisson com o parâmetro
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Isso pode ser visto porque a função geradora de cumulantes é
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Uma generalização da distribuição de Poisson foi usada por Saslaw (1989) para modelar o agrupamento observado de galáxias no universo. A forma dessa distribuição é fornecida por
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onde 
é o número de galáxias em um volume 
, 
, 
é a densidade média de galáxias, e 
, com 
é a proporção da energia gravitacional para a cinética energia de movimentos peculiares, Letting 
dá
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que é de fato uma distribuição de Poisson com 
. Da mesma forma, deixar 
dá 
.