Como encontrar a área de um pentágono (fórmula e exemplo)

Área de um pentágono

A área de um pentágono é o espaço dentro de seus cinco lados retos. Na maioria das vezes, você terá a tarefa de encontrar a área de um pentágono regular, portanto, esta lição não cobrirá pentágonos irregulares.

Um pentágono regular tem lados iguais e ângulos congruentes. Existem alguns métodos que você pode usar para calcular a área de um pentágono regular. Um método usa um comprimento lateral e o comprimento do apótema.

Apótema de um pentágono

O apótema de um pentágono é um segmento de linha do centro do pentágono até um lado Pentágono. O apótema é perpendicular ao lado. Todos os polígonos regulares têm um apótema. Para um polígono de n lados, há n apotemas.

Área de uma fórmula do pentágono

Para encontrar a área de um pentágono com o apotema, a, e o comprimento de um lado, s , você usa a área de uma fórmula de pentágono:

E se você não conhece o apótema do seu pentágono? Você ainda pode encontrar a área de um pentágono regular se souber:

• Um pouco de trigonometria
• O comprimento de um lado
• Cada ângulo interno mede 108 °

Você sabe que cada ângulo interno mede 108 ° porque conhece algumas coisas sobre ângulos externos e polígonos. Você sabe que:

• A soma dos ângulos externos de qualquer polígono soma 360 °
• O ângulo externo é o complemento do ângulo interno (interior + exterior = 180 °)

Para encontrar a medida de cada exterior de um polígono regular, você divide 360 ° pelo número de lados. Para um pentágono de 360 ° 5. Isso nos diz que cada ângulo externo tem 72 °

Agora podemos usar isso para determinar a medida de cada ângulo interno. Lembre-se, o ângulo externo e o ângulo interno devem somar 180 °, então temos 180 ° – 72 ° = 108 °. Cada ângulo interno é igual a 108 °.

Como encontrar o apótema e a área de um pentágono

Usando o comprimento de um lado e a medida do ângulo interno, vamos calcular o comprimento do apótema e encontre a área de um pentágono regular.

Digamos que temos um pentágono com um comprimento lateral de 4 cm. Divida o pentágono em cinco triângulos isósceles, cada um com uma base formada pelos lados do pentágono.

Divida qualquer um desses triângulos em dois triângulos retângulos:

Agora você sabe tudo isso sobre o triângulo retângulo:

• O comprimento da perna curta do triângulo (12 o lado do pentágono)
• O ângulo reto (ângulo de 90 °) é oposto à hipotenusa (bissetriz perpendicular do lado)
• ângulo agudo de 36 ° oposto à perna curta 360 ° dividido entre 10 triângulos retângulos)
• ângulo agudo de 54 ° oposto à perna longa (12 do ângulo interno de 108 ° )

A tangente de um ângulo (aqui, nosso ângulo de 36 °) é o lado oposto (a perna curta) dividido pelo lado adjacente (a perna longa, que é a altura do triângulo e o apótema do pentágono):

tan (36 °) = oposto adjacente

tan (36 °) = opostoh

h × tan (36 ° ) = oposto

h = oppositetan (36 °)

O bronzeado (36 °) é aproximadamente 0,727, então temos o lado oposto (a perna curta) de 2 cm div ided por 0,727:

h = 20,727 = 2,75 cm

Com a altura, h, do triângulo agora estabelecido e conhecendo a base do triângulo (12; lado do pentágono), b, agora você pode aplicar a fórmula para a área de um triângulo:

Temos 10 desses triângulos retângulos, então modificamos a fórmula da área do triângulo e calculamos a área do nosso pentágono regular: