Poisson-Verteilung
Bei einem Poisson-Prozess ist die Wahrscheinlichkeit, in 
-Versuchen genau 
Erfolge zu erzielen, durch die Grenze einer Binomialverteilung
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Anzeigen der Verteilung als Funktion der erwarteten Anzahl von Erfolgen
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anstelle der Stichprobengröße 
für festes 
wird Gleichung (2) dann zu
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Wenn die Stichprobengröße 
groß wird, nähert sich die Verteilung
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, bekannt als Poisson-Verteilung (Papoulis 1984, S. 101 und 554; Pfeiffer und Schum 1973, p. 200). Beachten Sie, dass die Stichprobengröße 
vollständig aus der Wahrscheinlichkeitsfunktion herausgefallen ist, die für alle Werte von 
dieselbe funktionale Form hat.
Die Poisson-Verteilung wird in der WolframLanguage als PoissonDistribution implementiert.
Wie erwartet wird die Poisson-Verteilung so normalisiert, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich 1 ist, da
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Das Wahrscheinlichkeitsverhältnis wird durch
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Die Poisson-Verteilung erreicht ein Maximum, wenn
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wobei ist die Euler-Mascheroni-Konstante und 
ist eine harmonische Zahl, die zur transzendentalen Gleichung
, die nicht genau für 
gelöst werden kann.
Die momentgenerierende Funktion der Poisson-Verteilung ist gegeben durch
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also
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(Papoulis 1984, p. 554).
Die Rohmomente können auch direkt durch Summation berechnet werden, was eine unerwartete Verbindung mit dem Bell-Polynom 
und Stirling-Zahlen der zweiten Art ergibt.
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bekannt als Dobińskis Formel.Daher
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Die zentralen Momente können dann als
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Mittelwert, Varianz, Schiefe und Kurtosisüberschuss sind also
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Die charakteristische Funktion für die Poissondistribution ist
(Papoulis 1984, S. 154 und 554), und die Funktion zur Erzeugung von Kumulanten ist
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also
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Die mittlere Abweichung der Poisson-Verteilung wird durch
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Die Poisson-Verteilung kann auch als
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Die momenterzeugende Funktion der Poisson-Verteilung in zwei Variablen wird durch
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Wenn die unabhängigen Variablen 
, 
, …, 
haben Poisson-Verteilungen mit den Parametern 
, 
, …, 
, dann
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hat eine Poisson-Verteilung mit dem Parameter
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Dies ist zu sehen, da die Funktion zur Erzeugung von Kumulanten
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Eine Verallgemeinerung der Poisson-Verteilung wurde von Saslaw (1989) zur Modellierung verwendet die beobachtete Häufung von Galaxien im Universum. Die Form dieser Verteilung wird durch
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wobei 
ist die Anzahl der Galaxien in einem Volumen 
, 
, 
ist die durchschnittliche Dichte von Galaxien und 
mit 
ist das Verhältnis von Gravitationsenergie zu Kinetik Energie von besonderen Bewegungen. Wenn Sie 
lassen, erhalten Sie
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Dies ist in der Tat eine Poisson-Distribution mit 
. In ähnlicher Weise ergibt das Teilen von 
.