Biorąc pod uwagę proces Poissona, prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie sukcesów w próbach jest określone przez granicę rozkładu dwumianowego

Wyświetlanie rozkładu jako funkcji oczekiwanej liczby sukcesów

zamiast rozmiaru próbki dla ustalonego , równanie (2) staje się

Jeśli rozmiar próbki stanie się duży, dystrybucja zbliża się do

			(4)
			(5)
			(6)
			(7)
			(8)

znany jako rozkład Poissona (Papoulis 1984, str. 101 i 554; Pfeiffer i Schum 1973, s. 200). Zwróć uwagę, że wielkość próby całkowicie wypadła z funkcji prawdopodobieństwa, która ma taką samą postać funkcjonalną dla wszystkich wartości .

Rozkład Poissona jest zaimplementowany w języku WolframLanguage jako PoissonaDistribution.

Zgodnie z oczekiwaniami rozkład Poissona jest znormalizowany, tak że suma prawdopodobieństw jest równa 1, ponieważ

Współczynnik prawdopodobieństw jest określony wzorem

Rozkład Poissona osiąga maksimum, gdy

gdzie to stała Eulera-Mascheroniego, a to liczba harmoniczna prowadząca do równania transcendentalnego.

, którego nie można dokładnie rozwiązać dla .

Funkcja generująca momenty rozkładu Poissona jest określona wzorem

			(13)
			(14)
			(15)
			(16)
			(17)
			(18)

więc

			(19)
			(20)

(Papoulis 1984, s. 554).

Nieprzetworzone momenty można również obliczyć bezpośrednio poprzez sumowanie, co daje nieoczekiwane połączenie z wielomianem Bella i liczbami Stirlinga drugiego rodzaju,

znany jako formuła Dobińskiego.Dlatego

			(22)
			(23)
			(24)

Centralne momenty można następnie obliczyć jako

			(25)
			(26)
			(27)

więc średnia, wariancja, skośność i nadmiar kurtozy wynoszą

			(28)
			(29)
			(30)
			(31)
			(32)

Charakterystyczną funkcją Poissondistribution jest

(34)

(35)

(36)

tempo zmian, tak aby

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)