Gegeven een Poisson-proces, wordt de kans om exact successen te behalen in -proeven gegeven door de limiet van een binominale verdeling

De distributie bekijken als een functie van het verwachte aantal successen

in plaats van de steekproefomvang voor vast , wordt vergelijking (2) dan

Door de steekproefomvang groot te laten worden, nadert de distributie

			(4)
			(5)
			(6)
			(7)
			(8)

die bekend staat als de Poisson-verdeling (Papoulis 1984, pp. 101 en 554; Pfeiffer en Schum 1973, p. 200). Merk op dat de steekproefomvang volledig is verwijderd uit de waarschijnlijkheidsfunctie, die dezelfde functionele vorm heeft voor alle waarden van .

De Poisson-verdeling is geïmplementeerd in de WolframLanguage als PoissonDistribution.

Zoals verwacht wordt de Poisson-verdeling genormaliseerd zodat de som van de kansen gelijk is aan 1, aangezien

De verhouding van waarschijnlijkheden wordt gegeven door

De Poisson-verdeling bereikt een maximum wanneer

waarbij is de constante van Euler-Mascheroni en is een harmonisch getal dat leidt tot de transcendentale vergelijking

wat niet exact kan worden opgelost voor .

De momentgenererende functie van de Poisson-verdeling wordt gegeven door

			(13)
			(14)
			(15)
			(16)
			(17)
			(18)

dus

			(19)
			(20)

(Papoulis 1984, p. 554).

De onbewerkte momenten kunnen ook direct worden berekend door sommatie, wat een onverwacht verband oplevert met de Bell-polynoom en Stirling-getallen van de tweede soort,

bekend als de formule van Dobiński.Daarom

			(22)
			(23)
			(24)

De centrale momenten kunnen dan worden berekend als

			(25)
			(26)
			(27)

dus de gemiddelde, variantie, scheefheid en kurtosis-overmaat zijn

			(28)
			(29)
			(30)
			(31)
			(32)

De karakteristieke functie voor de Poissondistribution is

(34)

(35)

(36)

de snelheid van veranderingen, zodat

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)