Hoe de oppervlakte van een vijfhoek te vinden (formule en voorbeeld)

Oppervlakte van een vijfhoek

De oppervlakte van een vijfhoek is de ruimte binnen zijn vijf rechte zijden. Meestal krijg je de taak om de oppervlakte van een regelmatige vijfhoek te vinden, dus deze les behandelt geen onregelmatige vijfhoeken.

Een regelmatige vijfhoek heeft gelijke zijden en congruente hoeken. Er zijn een aantal methoden die u kunt gebruiken om de oppervlakte van een regelmatige vijfhoek te berekenen. Eén methode gebruikt een zijde van de lengte en lengte van de apothema.

Apothema van een vijfhoek

De apothema van een vijfhoek is een lijnstuk van het midden van de vijfhoek naar een zijde van de vijfhoek. Pentagon. De apothema staat loodrecht op de zijkant. Alle reguliere polygonen hebben een apothema. Voor een veelhoek van n zijden zijn er n apothemen.

Oppervlakte van een Pentagon-formule

Om de oppervlakte van een vijfhoek te bepalen met de apothema, a, en één zijde lengte, s , je gebruikt de oppervlakte van een vijfhoekformule:

Wat als kent u de apothema van uw vijfhoek niet? Je kunt nog steeds de oppervlakte van een regelmatige vijfhoek vinden als je weet:

• Een beetje trigonometrie
• De lengte van één zijde
• Elke binnenhoek meet 108 °

U weet dat elke binnenhoek 108 ° meet, omdat u een paar dingen weet over buitenhoeken en polygonen. U weet dat:

• De som van de buitenhoeken van een polygoon bedraagt 360 °
• De buitenhoek is de aanvulling op de binnenhoek (binnen + buiten = 180 °)

Om de maat van elke buitenkant van een regelmatige veelhoek te vinden, deelt u 360 ° door het aantal zijden. Voor een vijfhoek is dat 360 ° 5. Dit vertelt ons dat elke buitenhoek 72 ° is.

Nu kunnen we dat gebruiken om de maat van elke binnenhoek te bepalen. Onthoud dat de buitenhoek en de binnenhoek 180 ° moeten bedragen, dus we hebben 180 ° – 72 ° = 108 °. Elke binnenhoek is gelijk aan 108 °.

Hoe de apothema en oppervlakte van een vijfhoek te vinden

Laten we aan de hand van de lengte van één zijde en de maat van de binnenhoek de apothema-lengte en zoek de oppervlakte van een regelmatige vijfhoek.

Laten we zeggen dat we een vijfhoek hebben met een zijlengte van 4 cm. Verdeel de vijfhoek in vijf gelijkbenige driehoeken, elk met een basis gevormd door de zijden van de vijfhoek.

Verdeel een van die driehoeken in twee rechthoekige driehoeken:

Je weet dit nu allemaal over de rechthoekige driehoek:

• De lengte van het korte been van de driehoek (12 zijde van de vijfhoek)
• De rechte hoek (hoek van 90 °) is tegenover de hypotenusa (middelloodlijn) van de zijkant)
• 36 ° scherpe hoek tegenover het korte been 360 ° verdeeld over 10 rechthoekige driehoeken)
• 54 ° scherpe hoek tegenover het lange been (12 van de 108 ° binnenhoek )

De tangens van een hoek (hier onze hoek van 36 °) is de tegenoverliggende zijde (het korte been) gedeeld door de aangrenzende zijde (het lange been, dat zowel de hoogte is van de driehoek en de apothema van de vijfhoek):

tan (36 °) = tegenoverliggend

tan (36 °) = tegenoverh

h × tan (36 ° ) = tegenover

h = oppositetan (36 °)

De tan (36 °) is ongeveer 0,727, dus we hebben de andere kant (de korte poot) van 2 cm div ided by 0.727:

h = 20.727 = 2.75 cm

Met de hoogte, h, van de driehoek nu vastgesteld en met kennis van de basis van de driehoek (12; de zijde van de vijfhoek), b, je kunt nu de formule toepassen voor de oppervlakte van een driehoek:

We hebben 10 van zulke rechthoekige driehoeken, dus we passen de formule van de driehoeksoppervlakte aan en berekenen de oppervlakte van onze regelmatige vijfhoek: