측정 : 영역에 대한 공식 발견
영역 공식
영역이 “2 차원의 양”이라는 비공식적 개념을 가진 학생 영역 내부에 포함 된 물건 은 종종 단순히 외워야하는 대부분의 공식을 스스로 발명 할 수 있습니다. 그들이 재창조하는 각 공식은 그들이 알고있는 다른 공식에 대한 이해 (및 기억)를 강화하는 데 도움이됩니다. (표면적 참조)
사각형 영역
영역 단위로 사각형을 선택하면 사각형 영역에 대한 직관적 인 아이디어를 얻을 수 있습니다. 이 정사각형 
의 면적이 1이라고 결정하면 길이가 7 배인 직사각형 
은 7 × 1이됩니다. 면적으로.
높이의 두 배인 직사각형은 면적이 두 배가되므로 
는 면적의 2 × 7 단위입니다. 우리는 일곱 개의 사각형으로 된 두 줄을 셀 수 있습니다. 마찬가지로 
에는 7 개 정사각형의 3 개 행 (또는 3 개 정사각형의 7 개 열)이있어 총 7 × 3 개 정사각형이므로 면적은 21 제곱 단위입니다.
한 행의 정사각형 수는 직사각형의 길이입니다. 행 수는 직사각형의 높이입니다. 따라서 면적은 길이 × 높이입니다.
사각형은 비스듬히 그릴 수 있기 때문에 “높이”는 “밑면에 수직 인 방향”을 의미하고 “밑면”은 다음과 같이 정의됩니다. 음, 어떤면을 선택하든 상관 없습니다.
이 방법은 숫자를 세는 데 효과적입니다. 분수에도 적용됩니다. 
여기에 표시된 파란색 직사각형은 절반을 측정합니다. 길이 단위 높이는 높이 5, 절반 길이 단위입니다. 해당 정사각형을 면적 단위로 선택하면 파란색 직사각형에 면적의 절반 단위 5 개와 면적의 1/4 단위가 포함되어 있습니다. 면적의 총 2 및 3/4 단위입니다. (분홍색 부분은 각 사각형 면적 단위의 완성도를 나타냅니다.)
모든 숫자를 포함하기 위해 사각형의 면적을 밑변 × 높이로 정의합니다. ( “base”와 “height”는 같은 단위로 측정 된 변의 길이를 의미합니다.)
평행 사변형의 면적
아이디어 얻기
우리는 해부하여 평행 사변형의 면적에 대한 공식을 알아낼 수 있습니다. 평행 사변형을 만들고 부분을 재정렬하여 직사각형을 만듭니다. 평행 사변형과 직사각형은 동일한 부분으로 구성되기 때문에 반드시 동일한 면적을 가져야합니다. (이러한 영역이 동일한 이유에 대한 자세한 내용은 영역 정의를 참조하세요.)
정확히 동일한 기본 길이 (파란색) 및 정확히 동일한 높이 (녹색). 밑변 × 높이는 직사각형의 면적을 제공하기 때문에 평행 사변형에 동일한 측정 값을 사용하여 면적을 계산할 수 있습니다 : 밑변 × 높이. (이전과 마찬가지로 “높이”는베이스에 수직으로 측정되고 “베이스”는 먼저 선택한면입니다. 평행 사변형 참조)
위에 표시된 컷을 통해베이스 길이가 다음과 같은지 쉽게 확인할 수 있습니다. 변하지 않은. 실제로 수직 절단은베이스를 따라 어느 곳에서나 할 수 있습니다.
구멍 단축
직관과 증명
이 해부는 평행 사변형의 면적 공식을 직관적으로 이해할 수있게 해주는데, 이것이 바로 이것이야하는 이유입니다. 그러나 우리는 해부가 실제로 “효과적인지”의문을 제기하지 않았습니다. 즉, 평행 사변형 
를 자르고 그 부분을 재정렬하면 
가 나올 것으로 예상하고 결과는 확실히 그렇게 보입니다. 삼각형을 움직일 때 결과가 직사각형이라는 것을 확신하는 이유는 무엇입니까? 
(덜 과장됨)와 비슷하면 어떻게됩니까? 결과가 그렇지 않은 경우 항상 완벽한 직사각형, 우리는 직사각형의 면적 공식에 대한 지식을 사용하여 평행 사변형을위한 공식을 개발할 수 없습니다. 고등학교에서 학생들은 평행 사변형의 두 부분이 올바르게 재 조립되면 직사각형을 만든다는 것을 증명할 수 있습니다. . K-8 학년 학생들은 대부분 시각적 실험에 의존하고 직관적 인 느낌을 받아야합니다. 이러한 해부가 작동하는 이유에 대해 자세히 알아보세요.
짧은면을 기본으로 선택하면 어떻게 되나요?
어떤면을 기본으로 선택할 수 있습니다. “높이” 정의된다 베이스로 선택한 측면에 수직으로 측정됩니다. 짧은면 (파란색)을 기준으로하면 위에 표시된 해부가 그다지 설득력이 없습니다. 해당 고도를 따라 절단하고 부품을 재배치하면 엉망이됩니다.
이 특정 예에서 
하나를 더 잘라서 문제를 해결할 수 있지만 평행 사변형이 더 길고 더 얇다면 어떨까요?
어떤 평행 사변형이든 아무리 길고 가늘어도 이러한 방식으로 해부 될 수 있으므로 부품 (아마도 많은 부분)을 직사각형으로 재배치 할 수 있습니다. 그러나 이것이 항상 가능하다는 것을 보여주기 위해서는 더 많은 작업이 필요합니다. 또 다른 아이디어가 필요합니다.
약간 다른 해부 아이디어가이 경우 생활을 훨씬 쉽게 만듭니다. (원래 사례에서도 작동 함을 직접 보여줄 수 있습니다.)
- 평행 사변형을 직사각형으로 묶습니다.
- 평행 사변형 내부에없는 직사각형의 두 부분은 합동 삼각형입니다.
- 이 삼각형 중 하나를 만나 직사각형을 형성 할 때까지 다른 삼각형을 향해 슬라이드합니다.
바깥 쪽 사각형의 전체 면적이 변경되지 않았고 (이전과 동일한 사각형) 노란색 영역이 변경되지 않았기 때문에 (조각이 방금 움직였습니다) 보라색 영역은 동일해야합니다. 이전과 마찬가지로 직사각형 보라색 영역의 치수가 원래 평행 사변형의 밑면과 높이임을 알 수 있습니다.
직관과 증명, 반복 : 다시 말하지만, 해부는 필수적인 통찰력을 제공하지만 사각형을 만들기 위해 서로 맞는 것처럼 보이는 두 개의 노란색 삼각형이 실제로 거의 맞지 않고 정확하게 맞도록 보장하려면 약간 더 많은 작업이 필요합니다.
그렇게 조심하는 것이 왜 중요한가요?
다른 면적 공식 (아래)을 작성할 때 평행 사변형의 면적을 찾는 방법을 사용하고 싶을 것입니다. 우리가 찾은 규칙에 의존 할 수 있습니다. 부분을 재 배열해도 면적이 바뀌지 않는다는 것을 확신 할 수 있습니다. 즉, 면적을 정의하는 방식입니다. 그러나 우리는 또한 부품이 우리가 주장하는 방식대로 맞 물리는지 확인해야합니다. 그렇지 않으면 우리가 만든 측정에 의존 할 수 없습니다. 그리고 우리는 기본 × 높이 규칙이 행운의 기본 선택에 의존하지 않는지 확인해야합니다.
대부분의 커리큘럼에서 학생들은 8 학년 이전에 기하학적 지식에 대한 체계적인 기반을 가지고 있지 않습니다. 이러한 해부가 작동한다는 건전한 증거입니다. 그러나 직관적 인 이해만으로도 공식을 설명하고 정당화 할 수 있으며 나중에 기하학적 연구를위한 좋은 근거가됩니다.
삼각형 영역
평행 사변형의 영역을 찾는 방법을 아는 것이 도움이됩니다. 삼각형의 면적을 찾으세요.
삼각형 해부
우리는 삼각형을 두 부분으로 해부 할 수 있습니다. 하나는 삼각형이고 다른 하나는 사다리꼴입니다. 기지에. 해당 슬라이스로 높이를 정확히 절반으로 자르면 두 부분이 서로 맞물려 밑면은 같지만 높이는 절반 인 평행 사변형을 만듭니다.
따라서 밑변 × 절반 높이는 삼각형의 면적을 나타냅니다. 유사한 해부는 반베이스 × 높이를 보여줍니다. 둘 중 하나가 
bh로 줄어 듭니다.
삼각형을 두 배로 만든 다음 결과 영역을 절반으로 만듭니다.
또 다른 생각 : 삼각형은 삼각형과 밑변과 높이가 같은 평행 사변형을 만듭니다.
평행 사변형의 면적은 밑변 × 높이입니다. 하지만 이것은 삼각형의 면적의 두 배입니다. 그래서 삼각형의 면적은 우리가 해부 방법에서 본 것처럼 밑변 × 높이의 입니다.
(항상 그렇듯이 , “베이스”를 선택하고베이스에서 반대쪽 정점까지 해당베이스에 수직 인 높이를 측정합니다.)
사다리꼴 영역
사다리꼴을 두 배로 만든 다음 결과 영역을 절반으로 줄입니다.
삼각형의 경우와 마찬가지로 사다리꼴 사본 두 개를 합쳐 평행 사변형을 만들 수 있습니다.
평행 사변형의 높이는 사다리꼴의 높이와 같지만 밑변은 사다리꼴의 두 밑변의 합입니다. 따라서 평행 사변형의 면적은 높이 × (밑수 1 + 밑수 2)입니다. 하지만이 영역은 사다리꼴 두 개이므로 사다리꼴의 영역을 얻기 위해 반으로 잘라야합니다.
사다리꼴 해부
우리가 해부 한 방식으로 사다리꼴을 해부 할 수도 있습니다. 하나의 슬라이스로 높이를 절반으로 자르는 삼각형. 두 부분은 서로 맞물려서 밑변이 사다리꼴의 두 밑변의 합이지만 높이가 사다리꼴 높이의 절반 인 평행 사변형을 만듭니다.
사다리꼴의 경우 밑변이 불가능합니다. 마음대로 선택됩니다. 두 개의 평행 한면은 밑면이고 높이는 항상 그렇듯이 한 밑면에서 반대쪽 밑면까지의 수직 거리입니다.
이 평행 사변형의 면적은 높이 (사다리꼴의 절반 높이)에 밑면 (사다리꼴 밑면의 합)을 곱한 것이므로 면적은 절반 높이 × (밑면 1 + 밑면 2)입니다. 평행 사변형은 사다리꼴과 똑같은 “물건”으로 만들어 졌기 때문에 사다리꼴의 면적이기도합니다.
어느 쪽이든 사다리꼴의 면적은 × 높이 × (base1 + base2).
다른 특수 사변형 영역
마름모 영역
마름모 영역은 조각을 자르고 재 배열하여 평행 사변형을 형성하여 찾을 수 있습니다. 이는 여러 가지 방법으로 수행 할 수 있습니다.
- 짧은 대각선 (a)을 가로 질러 두 개의 합동 삼각형을 형성합니다. 삼각형의 아래쪽 절반을 위쪽 절반 옆으로 이동하여 평행 사변형을 만듭니다. 짧은 대각선 (a)은 평행 사변형의 밑이되고 긴 대각선 (b)의 절반은 평행 사변형의 높이가됩니다. 따라서 마름모의 면적은 마름모의 표준 공식 인 대각선의 곱인 * b 또는 입니다.
- 또 다른 유사한 방법은 마름모를 합동 삼각형 4 개로 자르고 짧은 대각선을 밑면으로하고 긴 대각선의 절반을 높이로하여 직사각형으로 재배 열하는 것입니다.
- 절단 후 마름모를 두 개의 합동 삼각형으로 만들면 삼각형 중 하나의 면적을 계산할 수 있습니다. 즉, 삼각형 중 하나의 면적은 * 밑면 (a) * 높이 ( b) =
ab. 그런 다음 2 개가 있으므로 2를 곱합니다. 2 * ab = ab.
연의 면적
연의 면적은 마름모의 면적과 비슷합니다. 긴 대각선을 가로 질러 절단하면 합동 삼각형 두 개가 생성됩니다. 그것들을 재정렬하면 긴 대각선 (b)을 밑으로하고 짧은 대각선 (a)의 절반을 높이로하여 평행 사변형을 형성 할 수 있습니다. 따라서 영역은 b * a = ab가됩니다. 더 복잡한 접근 방식은 약간의 대수를 포함합니다. 짧은 대각선을 가로 질러 연을 잘라 짧은 대각선 (a)을베이스로 두 개의 삼각형을 형성합니다. 따라서 첫 번째 삼각형의 면적은 a * squiggly이며, 여기서 squiggly는 높이입니다. 두 번째 삼각형의 면적은 a * (b – squiggly)이며, (b – squiggly)는 더 긴 대각선의 나머지 부분입니다. 따라서 전체 면적은 ( a * squiggly) + ( a * (b – squiggly))가됩니다. a를 인수 분해하면 a (구불 구불 한 + b – 구불 구불 한) = ab.
글쎄요. 기본적으로 평행 사변형의 면적에 대한 공식을 알고 다른 것에 대한 공식을 유도하면됩니다.