모집단 평균 추정

가장 기본적인 점 및 구간 추정 프로세스는 모집단 평균 추정을 포함합니다. 양적 변수에 대한 모집단 평균 μ를 추정하는 것이 중요하다고 가정합니다. 단순 무작위 표본에서 수집 한 데이터를 사용하여 표본 평균 x̄를 계산할 수 있습니다. 여기서 x̄ 값은 μ의 점 추정치를 제공합니다.

표본 평균이 모집단의 점 추정치로 사용되는 경우 평균, 표본 또는 모집단의 하위 집합이 점 추정치를 계산하는 데 사용된다는 사실로 인해 일부 오류가 예상 될 수 있습니다. 표본 평균 x̄와 모집단 평균 μ (| x̄ − μ |로 표기) 간의 차이의 절대 값을 표본 오차라고합니다. 간격 추정은 샘플링 오류의 크기에 대한 확률 진술을 통합합니다. x̄의 표본 분포는 그러한 진술의 근거를 제공합니다.

통계 학자들은 x̄ 표본 분포의 평균이 모집단 평균 μ와 같고 표준 편차는 σ에 의해 주어진다는 것을 보여주었습니다. / √n의 제곱근, 여기서 σ는 모집단 표준 편차입니다. 샘플링 분포의 표준 편차를 표준 오차라고합니다. 큰 표본 크기의 경우 중심 한계 정리는 x̄의 표본 분포가 정규 확률 분포로 근사 될 수 있음을 나타냅니다. 실제로 통계학자는 일반적으로 30 개 이상의 표본을 큰 것으로 간주합니다.

대표 본의 경우 모집단 평균에 대한 95 % 신뢰 구간 추정값은 x̄ ± 1.96σ로 제공됩니다. / √n의 제곱근. 모집단 표준 편차 σ를 알 수없는 경우 표본 표준 편차는 신뢰 구간 공식에서 σ를 추정하는 데 사용됩니다. 수량 1.96σ / √n의 제곱근은 종종 추정치의 오차 한계라고합니다. √n의 양 σ / 제곱근은 표준 오차이고 1.96은 값의 95 %를 정규 분포에 포함하는 데 필요한 평균의 표준 오차 수입니다. 95 % 신뢰 구간의 해석은 이러한 방식으로 구성된 구간의 95 %에 모집단 평균이 포함된다는 것입니다. 따라서 이러한 방식으로 계산 된 모든 구간은 모집단 평균을 포함하는 95 % 신뢰도를 갖습니다. 상수를 1.96에서 1.645로 변경하면 90 % 신뢰 구간을 얻을 수 있습니다. 90 % 신뢰 구간은 95 % 신뢰 구간보다 좁고 모집단 평균을 포함하는 신뢰 구간이 약간 더 작다는 점을 구간 추정 공식에서 확인해야합니다. 신뢰 수준이 낮을수록 구간이 더 좁아집니다. 실제로 95 % 신뢰 구간이 가장 널리 사용됩니다.

구간 추정 공식에 n1 / 2 항이 있으므로 표본 크기는 오차 한계에 영향을줍니다. 표본 크기가 클수록 오차 한계가 작아집니다. 이 관찰은 표본 크기를 선택하는 데 사용되는 절차의 기초를 형성합니다. 신뢰 구간이 오차 한계 크기에 대한 원하는 요구 사항을 충족하도록 표본 크기를 선택할 수 있습니다.

모집 평균의 구간 추정치를 개발하기 위해 방금 설명한 절차는 대규모의 사용을 기반으로합니다. 견본. 작은 표본의 경우 (예 : 표본 크기 n이 30 미만인 경우) t 분포는 오차 한계를 지정하고 신뢰 구간 추정치를 구성 할 때 사용됩니다. 예를 들어 95 % 신뢰 수준에서 n 값으로 결정된 t 분포의 값은 정규 분포에서 얻은 1.96 값을 대체합니다. t 값은 항상 더 커져 신뢰 구간이 더 넓어 지지만 표본 크기가 커지면 t 값이 정규 분포의 해당 값에 가까워집니다. 표본 크기가 25 인 경우 사용되는 t 값은 큰 표본의 경우 1.96의 정규 확률 분포 값과 비교하여 2.064입니다.