統計の誕生日の問題に答える

統計の誕生日の問題では、少なくとも2人が誕生日を共有する確率を50％にするために、グループに何人必要ですか？さあ、少し考えてみてください。その答えは多くの人を驚かせます。すぐにそれについて説明します。

この投稿では、誕生日のパラドックスに答えるだけでなく、任意のサイズのグループの確率を計算する方法、コンピューターシミュレーションを実行する方法も示します。

誕生日の問題の確率を計算する

多くの人が183を推測します。これは、考えられるすべての誕生日の半分であり、直感的に思えるからです。残念ながら、この問題を解決するには直感がうまく機能しません。それでは、誕生日を共有する人々の確率の計算に直接取り掛かりましょう。

これらの計算では、いくつかの仮定を行います。まず、うるう年は無視します。これにより計算が簡単になり、結果が大きく変わることはありません。また、すべての誕生日が同じ確率で発生すると仮定します。

1人から始めて、一度に1人ずつ追加して、計算の仕組みを説明しましょう。これらの計算では、誰も誕生日を共有しない確率を計算する方が簡単です。次に、その確率を取り、1からifを引いて、少なくとも2人が誕生日を共有する確率を導き出します。

1 –一致しない確率=少なくとも1つの一致の確率

最初の人の場合、誕生日はまだカバーされていません。つまり、共有された誕生日がない可能性は365/365です。それは理にかなっている。 1人だけです。

次に、2人目を追加しましょう。最初の人は1つの可能な誕生日をカバーするので、2番目の人は同じ日を共有しない可能性が364/365あります。最初の2人の確率を乗算し、1から減算する必要があります。

3人目の場合、前の2人人々は2つの日付をカバーしています。したがって、第三者が誕生日を共有しない確率は363/365です。

これで、次のようになります。特定の人数の確率を計算する方法のパターン。方程式の一般的な形式は次のとおりです。

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誕生日の問題のグラフ化確率

Excelを使用して、任意のサイズグループの確率を計算してグラフ化できます。私のExcelファイルをダウンロードしてください：BirthdayProblem。

確率を評価することにより、誕生日の問題に対する答えは、グループが必要であるということです。 23人の人々が誕生日を共有する確率は50.73％です！ほとんどの人は、グループがそれほど小さいとは思っていません。また、57のグループの確率が0.99であることに注意してください。事実上保証されています！

心配しないでください。この驚くべき結果については、すぐに説明します。まず、別の方法を使用して23の誕生日の問題の答えを確認しましょう。

誕生日のパラドックスのシミュレーション

確率計算を使用すると、23人のグループの誕生日が50.73％になると予想されます。当時の。次に、統計シミュレーションプログラムを使用して、誕生日のパラドックスをシミュレートし、実際の確率が予測された確率と一致するかどうかを判断します。このシミュレーションでは、寄付を歓迎しますが、ギフトウェアプログラムであるStatistics101を使用しています。

このプログラムには、25人のグループの確率を出力するサンプルスクリプトが付属しています。 23人の100,000のグループを収集し、各人にランダムに誕生日を割り当てるようにスクリプトを作成します。プログラムは、23の各グループ内で誕生日が一致するかどうかを判断し、一致する100,000のグループの割合を計算します。確率の計算に基づくと、グループの約50％が一致すると予想されます。また、各グループ内の一致数のヒストグラムをプログラムに作成させます。スクリプトをダウンロードしてください：BirthdayProblem。

シミュレーションソフトウェアは、100,000グループの50.586％が一致する誕生日を持っていることを発見しました。これは、計算された確率50.73％に非常に近いものです。このシミュレーションは、確率計算を検証します。

以下のグラフは、これらの23のグループにおける一致数の分布を示しています。

左端のバーは、グループの49.41％に一致がないことを示しています。次のバーは、37％が1つの一致、11.4％が2つ、1.9％が3つ、0.31％が3つ以上の一致を持っていることを示しています。

誕生日の問題でグループサイズが非常に小さいのはなぜですか？

モンティホール問題のように、ほとんどの人は誕生日の問題への答えは驚くべきものであり、それは彼らの脳を少し傷つけると思います！しかし、その答えは完全に正しいものであり、確率計算とコンピューターシミュレーションという2つの異なる方法を使用してそれを見つけました。答えが直感に反する理由を調べてみましょう。

多くの場合、人々は自分の誕生日と、誰かがその特定の日付に一致する確率について考えます。ただし、問題は、誕生日を共有する2人の個人について尋ねます。つまり、考えられるすべての個人のペアを比較する必要があります。すべてのペアを評価すると、比較の数が急速に増加し、混乱の原因になります。

N人のペア間の比較の数の式は次のとおりです。（N *（N-1）） / 2。下の表にあるように、23人だけで253と雪だるま式に比較されます！

誕生日を共有するため、各ペアのマッチングの確率は0.0027に固定されています。それはたった1つのペアでは低いです。ただし、ペアの数が急激に増えると、一致する確率も高くなります。 23人の場合、253ペアを比較する必要があります。比較が多いと、どの誕生日ペアも一致しなくなります。

57人の場合、比較するペアは1,596ペアであり、少なくとも1つのペアが0.99の確率で実質的に保証されます。

直感があなたを迷わせるこのような問題が大好きですが、数学はその日を救います！

私たちは誕生日について話しているので、統計学者は年齢がちょうどであると言うことができます数字？