ポアソン分布
ポアソンプロセスを考えると、
の試行で正確にの成功を得る確率は、二項分布の制限によって与えられます
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（1）
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予想される成功数の関数としての分布の表示
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（2）
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サンプルサイズの代わりに
固定
の場合、式（2）は次のようになります
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（3）
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サンプルサイズ
を大きくすると、分布は近づきます
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（4）
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（8）
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これはポアソン分布として知られています（Papoulis 1984、pp。101and 554; Pfeiffer and Schum 1973、p。 200）。サンプルサイズ
は、確率関数から完全に脱落していることに注意してください。確率関数は、
のすべての値に対して同じ関数形式です。
ポアソン分布はWolframLanguageにPoissonDistributionとして実装されています。
予想どおり、ポアソン分布は、確率の合計が1になるように正規化されています。
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（9 ）
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確率の比率は次の式で与えられます
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（10）
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ポアソン分布は
where はオイラーの定数であり、
は調和数であり、超越方程式になります
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（12）
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では正確に解くことができません。
Poisson分布のモーメント生成関数は次の式で与えられます
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so
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（19）
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（20）
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（Papoulis 1984、p。 554）。
生のモーメントは、合計によって直接計算することもできます。これにより、ベル多項式
および第2種のスターリング数との予期しない接続が生成されます。
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（21）
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Dobińskiの式として知られています。したがって、
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（22）
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（23）
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（24）
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中心モーメントは次のように計算できます
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（26）
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したがって、平均、分散、スキューネス、およびクルトシス過剰は
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（28）
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（29）
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（30）
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（31）
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（32）
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Poissondistributionの特徴的な関数は
（Papoulis 1984、pp。154and 554）であり、累積生成関数は
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（34）
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so
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（35）
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ポアソン分布の平均偏差は次の式で与えられます
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（36）
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ポアソン分布は、
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（37）
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（38）
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2つの変数のポアソン分布のモーメント母関数は、次の式で与えられます。
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（39）
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独立変数
の場合、
、…、
にはパラメーター
、
、..のポアソン分布があります。、
、次に
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（40）
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パラメータ付きのポアソン分布があります
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（41）
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これは、累積生成関数が
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（42）
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（43）
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ポアソン分布の一般化は、Saslaw（1989）によってモデル化に使用されています。宇宙で観測された銀河のクラスター化。この分布の形式は、
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（44）
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ここで
は、ボリューム内の銀河の数です
、
、
は銀河の平均密度であり、
は、
が運動エネルギーに対する重力エネルギーの比率です。特異な運動のエネルギー、
が与える
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（45）
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これは確かに
のポアソン分布です。同様に、
に
を付与することもできる。