Distribuzione Poisson
Dato un processo di Poisson, la probabilità di ottenere esattamente 
successi in 
prove è data dal limite di una distribuzione binomiale
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Visualizzazione della distribuzione in funzione del numero di successi previsto
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invece della dimensione del campione 
per 
fisso, lequazione (2) diventa
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Se la dimensione del campione 
diventa grande, la distribuzione si avvicina a
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nota come distribuzione di Poisson (Papoulis 1984, pp. 101 e 554; Pfeiffer e Schum 1973, p. 200). Tieni presente che la dimensione del campione 
è stata completamente esclusa dalla funzione di probabilità, che ha la stessa forma funzionale per tutti i valori di 
.
La distribuzione di Poisson è implementata in WolframLanguage come PoissonDistribution.
Come previsto, la distribuzione di Poisson è normalizzata in modo che la somma delle probabilità è uguale a 1, poiché
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(9 )
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Il rapporto delle probabilità è dato da
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La distribuzione di Poisson raggiunge un massimo quando
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dove è la costante di Eulero-Mascheroni e 
è un numero armonico, che porta allequazione trascendentale
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che non può essere risolto esattamente per 
.
La funzione di generazione del momento della distribuzione Poisson è data da
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so
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(Papoulis 1984, p. 554).
I momenti grezzi possono anche essere calcolati direttamente per sommatoria, il che produce una connessione inaspettata con il polinomio di Bell 
e i numeri di Stirling del secondo tipo
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nota come formula di Dobiński “.Pertanto,
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I momenti centrali possono quindi essere calcolati come
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quindi la media, la varianza, lasimmetria e leccesso di curtosi sono
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La funzione caratteristica per Poissondistribution è
(Papoulis 1984, pp. 154 e 554), e la funzione di generazione di cumulanti è
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so
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La deviazione media della distribuzione di Poisson è data da
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La distribuzione di Poisson può anche essere espressa in termini di
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La funzione di generazione del momento di una distribuzione di Poisson in due variabili è data da
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Se le variabili indipendenti 
, 
, …, 
hanno distribuzioni di Poisson con parametri 
, 
, …, 
, quindi
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ha una distribuzione di Poisson con parametro
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Questo può essere visto poiché la funzione di generazione di cumulanti è
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Saslaw (1989) ha utilizzato una generalizzazione della distribuzione di Poisson per modellare il raggruppamento osservato delle galassie nelluniverso. La forma di questa distribuzione è data da
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dove 
è il numero di galassie in un volume 
, 
, 
è la densità media delle galassie e 
, con 
è il rapporto tra lenergia gravitazionale e la cinetica energia di movimenti peculiari, Lasciando 
si ottiene
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che è effettivamente una distribuzione di Poisson con 
. Allo stesso modo, lasciando 
si ottiene 
.