Exponentialverteilung
von Marco Taboga, PhD
Die Exponentialverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die verwendet wird Modellieren Sie die Zeit, die wir warten müssen, bevor ein bestimmtes Ereignis eintritt. Es ist das kontinuierliche Gegenstück zur geometrischen Verteilung, die stattdessen diskret ist.
Manchmal wird es auch als negative Exponentialverteilung bezeichnet.
Einführung
Wie viel Zeit wird vergehen, bis ein Erdbeben in einer bestimmten Region auftritt? Wie lange müssen wir warten, bis ein Kunde unseren Shop betritt? Wie lange dauert es, bis ein Callcenter den nächsten Anruf erhält? Wie lange funktioniert eine Maschine ohne Ausfall?
Fragen wie diese werden häufig unter Verwendung der Exponentialverteilung probabilistisch beantwortet.
Alle diese Fragen betreffen die Zeit, die wir benötigen warten, bevor ein bestimmtes Ereignis eintritt. Wenn diese Wartezeit unbekannt ist, ist es oft angebracht, sie als Zufallsvariable mit Exponentialverteilung zu betrachten.
Grob gesagt, die Zeit 
, die wir benötigen Warten, bevor ein Ereignis eintritt, hat eine Exponentialverteilung, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis während eines bestimmten Zeitintervalls auftritt, proportional zur Länge dieses Zeitintervalls ist.
Genauer gesagt, hat eine Exponentialverteilung, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit ungefähr proportional zur Länge des Zeitintervalls zwischen den Zeiten ist und zu jedem Zeitpunkt .
In vielen praktischen Situationen ist diese Eigenschaft sehr realistisch. Dies ist der Grund, warum die Exponentialverteilung so häufig zur Modellierung von Wartezeiten verwendet wird.
Die Exponentialverteilung hängt eng mit der Poisson-Verteilung zusammen. Wenn 1) ein Ereignis mehr als einmal auftreten kann und 2) die zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen verstrichene Zeit exponentiell verteilt und unabhängig von früheren Ereignissen ist, hat die Anzahl der Ereignisse des Ereignisses innerhalb einer bestimmten Zeiteinheit eine Poisson-Verteilung. Wir laden den Leser ein, die Vorlesung über die Poisson-Verteilung zu lesen, um eine detailliertere Erklärung und eine intuitive grafische Darstellung dieser Tatsache zu erhalten.
Definition
Die Exponentialverteilung ist wie folgt charakterisiert.
Definition Sei eine kontinuierliche Zufallsvariable. Die Unterstützung sei die Menge positiver reeller Zahlen: Sei . Wir sagen, dass eine Exponentialverteilung mit dem Parameter hat, wenn und nur wenn seine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Der Parameter wird als Ratenparameter bezeichnet.
Eine Zufallsvariable mit einer Exponentialverteilung wird auch als exponentielle Zufallsvariable bezeichnet.
Das Folgende ist ein Beweis dafür, dass ist eine legitime Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
Nicht-Negativität ist offensichtlich. Wir müssen beweisen, dass das Integral von über gleich ist. Dies wird wie folgt bewiesen:
Um die Exponentialverteilung besser zu verstehen, können Sie sich die Dichtediagramme ansehen.
Der Ratenparameter und seine Interpretation
Wir haben erwähnt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis zwischen zwei Daten auftritt und ist proportional zu (abhängig von der Information, dass es nicht vor aufgetreten ist). Der Ratenparameter ist die Proportionalitätskonstante: wobei ein Infinitesimal von ist höhere Ordnung als (dh eine Funktion von , die schneller auf Null geht als tut).
Die obige Proportionalitätsbedingung reicht auch aus, um die Exponentialverteilung vollständig zu charakterisieren.
Satz Die Proportionalitätsbedingung ist nur erfüllt, wenn eine Exponentialverteilung hat.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann als Bezeichnen Sie mit die Verteilungsfunktion von , dh und durch seine Überlebensfunktion: Dann Teilen Sie beide Seiten durch erhalten wir wobei eine Größe ist, die zu , wenn zu tendiert. Wenn wir auf beiden Seiten Grenzen setzen, erhalten wir oder nach der Definition der Ableitung: Diese Differentialgleichung lässt sich leicht mithilfe der Kette lösen Regel: Wenn wir das Integral von zu beider Seiten nehmen, erhalten wir und oder Aber (weil keine negativen Werte annehmen kann) impliziert Wenn beide Seiten potenziert werden, erhalten wir Daher oder Die Dichtefunktion ist jedoch die erste Ableitung der Verteilungsfunktion: und der Term ganz rechts ist die Dichte einer exponentiellen Zufallsvariablen. Daher ist die Proportionalitätsbedingung nur erfüllt, wenn eine exponentielle Zufallsvariable ist.
Erwarteter Wert
Der erwartete Wert einer exponentiellen Zufallsvariablen ist
Es kann wie folgt abgeleitet werden: 
Varianz
Die Varianz von an exponentielle Zufallsvariable ist
Es kann dank der üblichen Varianzformel () abgeleitet werden: 
Momenterzeugungsfunktion
Die Momenterzeugungsfunktion einer exponentiellen Zufallsvariablen ist für jede definiert:
Die Definition der Momenterzeugungsfunktion ergibt Von Natürlich konvergieren die obigen Integrale nur, wenn , d. h. nur wenn . Daher existiert die Momenterzeugungsfunktion einer exponentiellen Zufallsvariablen für alle .
Charakteristische Funktion
Die charakteristische Funktion einer exponentiellen Zufallsvariablen ist
Unter Verwendung der Definition der charakteristischen Funktion und der Tatsache, dass wir schreiben können Berechnen wir nun die beiden Integrale getrennt . Das erste Integral ist 
Daher , das neu angeordnet werden kann, um oder Das zweite Integral ist 
Daher , das neu angeordnet werden kann, um oder Durch Zusammenfügen von Teilen erhalten wir 
Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion einer exponentiellen Zufallsvariablen ist
Wenn , dann weil kann keine negativen Werte annehmen. Wenn , dann
Weitere Details
In den folgenden Unterabschnitten finden Sie weitere Details zur Exponentialverteilung.
Memoryless-Eigenschaft
Eine der wichtigsten Eigenschaften der Exponentialverteilung ist die memoryless-Eigenschaft: für jede .
Dies wird wie folgt bewiesen: 
ist die Zeit, die wir vor einem bestimmten Ereignis warten müssen tritt ein. Die obige Eigenschaft besagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis während eines Zeitintervalls der Länge auftritt, unabhängig davon ist, wie viel Zeit bereits vergangen ist () ohne dass das Ereignis eintritt.
Die Summe der exponentiellen Zufallsvariablen ist eine Gamma-Zufallsvariable.
Angenommen, , , …, sind voneinander unabhängige Zufallsvariablen mit Exponentialverteilung mit dem Parameter .
Definiere
Dann ist die Summe eine Gamma-Zufallsvariable mit den Parametern und .
Dies wird anhand des Moments bewiesen Erzeugungsfunktionen (denken Sie daran, dass die Momenterzeugungsfunktion einer Summe voneinander unabhängiger Zufallsvariablen nur das Produkt ihrer Momenterzeugungsfunktionen ist): Letzteres ist die Momenterzeugungsfunktion eines Gammas Verteilung mit den Parametern und . hat also eine Gamma-Verteilung, da zwei Zufallsvariablen dieselbe Verteilung haben, wenn sie dieselbe Momenterzeugungsfunktion haben.
Die Zufallsvariable soll manchmal auch eine Erlang-Verteilung haben. Die Erlang-Verteilung ist nur ein Sonderfall der Gamma-Verteilung: Eine Gamma-Zufallsvariable ist auch eine Erlang-Zufallsvariable, wenn sie als Summe exponentieller Zufallsvariablen geschrieben werden kann.
Dichtediagramm
Das nächste Diagramm zeigt, wie sich die Dichte der Exponentialverteilung durch Ändern des Ratenparameters ändert:
-
Der erste Graph (rote Linie) ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer exponentiellen Zufallsvariablen mit dem Ratenparameter
; -
Der zweite Graph (blaue Linie) ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer exponentiellen Zufallsvariablen mit dem Ratenparameter
.
Die dünnen vertikalen Linien geben die Mittelwerte der beiden Verteilungen an. Beachten Sie, dass wir durch Erhöhen des Ratenparameters den Mittelwert der Verteilung von auf verringern.
Gelöste Übungen
Nachfolgend finden Sie einige Übungen mit erklärten Lösungen.
Übung 1
Sei eine exponentielle Zufallsvariable mit dem Parameter . Berechnen Sie die folgende Wahrscheinlichkeit:
Zunächst können wir die Wahrscheinlichkeit als unter Verwendung der Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt, gleich Null ist (siehe Kontinuierliche Zufallsvariablen und Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit von Null). Nun kann die Wahrscheinlichkeit in Form der Verteilungsfunktion von als 
geschrieben werden Übung 2
Angenommen, die Zufallsvariable hat eine Exponentialverteilung mit dem Parameter . Berechnen Sie die folgende Wahrscheinlichkeit:
Diese Wahrscheinlichkeit kann mithilfe der Verteilungsfunktion von :
Aufgabe 3
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable ist kleiner als der erwartete Wert, wenn eine Exponentialverteilung mit dem Parameter aufweist ?
Der erwartete Wert einer exponentiellen Zufallsvariablen mit dem Parameter ist Die obige Wahrscheinlichkeit kann mithilfe der Verteilungsfunktion von berechnet werden:
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