College Algebra (Čeština)
Podíváme-li se na graf racionální funkce, můžeme prozkoumat její místní chování a snadno zjistit, zda existují asymptoty. Můžeme dokonce být schopni přiblížit jejich polohu. I bez grafu však stále můžeme určit, zda má daná racionální funkce nějaké asymptoty, a vypočítat jejich umístění.
Vertikální asymptoty
Vertikální asymptoty racionální funkce mohou být zjištěno zkoumáním faktorů jmenovatele, které nejsou společné faktorům v čitateli. Vertikální asymptoty se vyskytují u nul těchto faktorů.
Postup: Vzhledem k racionální funkci identifikujte jakékoli vertikální asymptoty jeho grafu.
- Faktor čitatele a jmenovatel.
- Všimněte si veškerých omezení v doméně funkce.
- Snižte výraz zrušením běžných faktorů v čitateli a jmenovateli.
- Všimněte si všech hodnot které způsobí, že jmenovatel bude v této zjednodušené verzi nulový. Zde se vyskytují vertikální asymptoty.
- Všimněte si veškerých omezení v doméně, kde se asymptoty nevyskytují. Jedná se o vyměnitelné diskontinuity.
Vyměnitelné diskontinuity
Občas bude graf obsahovat díru: jeden bod, kde graf není definován, označený otevřený kruh. Takovou díru nazýváme odstranitelnou diskontinuitou.
Obrázek 10
Obecná poznámka: Vyměnitelné diskontinuity racionálních funkcí
V grafu racionální funkce dochází k odstranitelné diskontinuitě at x = a pokud a je nula pro faktor ve jmenovateli, který je společný pro faktor v čitateli. Faktorujeme čitatele a jmenovatele a kontrolujeme společné faktory. Pokud nějaký najdeme, nastavíme společný faktor rovný 0 a vyřešíme. Toto je umístění vyměnitelné diskontinuity. To platí, pokud je multiplicita tohoto faktoru větší nebo stejná jako ve jmenovateli. Pokud je multiplicita tohoto faktoru ve jmenovateli větší, pak v této hodnotě stále existuje asymptota.
Horizontální asymptoty
Zatímco vertikální asymptoty popisují chování graf, protože výstup je velmi velký nebo velmi malý, horizontální asymptoty pomáhají popsat chování grafu, protože vstup je velmi velký nebo velmi malý. Připomeňme, že koncové chování polynomu bude zrcadlit chování vedoucího členu. Stejně tak bude konečné chování racionální funkce zrcadlit poměr hlavních podmínek funkcí čitatele a jmenovatele.
Při kontrole horizontálních asymptot existují tři odlišné výsledky:
Případ 1: Pokud je stupeň jmenovatele > stupeň čitatele, existuje vodorovná asymptota na y = 0.
Případ 2: Pokud je stupeň jmenovatele < stupeň čitatele o jeden, dostaneme šikmou asymptotu.
Všimněte si, že zatímco graf racionální funkce nikdy nepřekročí svislou asymptotu, graf může, ale nemusí překročit horizontální nebo šikmý asymptot. I když graf racionální funkce může mít mnoho vertikálních asymptot, bude mít graf nejvýše jednu horizontální (nebo šikmou) asymptotu.
Je třeba poznamenat, že pokud je stupeň čitatele větší než stupeň jmenovatele o více než jeden, bude koncové chování grafu napodobovat chování redukované frakce koncového chování. Například kdybychom měli funkci
s chováním na konci
konečné chování grafu by vypadalo podobně jako u sudého polynomu s kladným předstihovým koeficientem.
Obecná poznámka: Horizontální asymptoty Racionální funkce
Horizontální asymptota racionální funkce lze určit pohledem na stupně čitatele a jmenovatele.
- Stupeň čitatele je menší než stupeň jmenovatele: horizontální asymptota na y = 0.
- Stupeň čitatele je větší než stupeň jmenovatele o jednu: žádná vodorovná asymptota; šikmá asymptota.
- Stupeň čitatele se rovná stupni jmenovatele: vodorovná asymptota při poměru hlavních koeficientů.
Obecná poznámka: Zachycení racionálních funkcí
Racionální funkce bude mít průnik y, když je vstup nulový, pokud funkce je definována na nule. Racionální funkce nebude mít průnik y, pokud funkce není definována na nule.
Podobně bude mít racionální funkce na průchodech x průsečíky, které způsobí, že výstup bude nulový. Vzhledem k tomu, že zlomek se rovná nule pouze v případě, že čitatel je nula, mohou se x-průsečíky vyskytnout pouze v případě, že se čitatel racionální funkce rovná nule.
Zkuste to 7
Vzhledem k reciproční funkci na druhou, která je posunuta o 3 jednotky doprava a dolů o 4 jednotky, zapište to jako racionální funkci. Poté najděte průsečíky x– a y a horizontální a vertikální asymptoty.
Řešení